[論文レビュー] Infinite divisibility of solutions to some self-similar integro-differential equations and exponential functionals of Lévy processes

Pierre Patie|arXiv (Cornell University)|May 16, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、スペクトル的に負のLévy過程に関連する自己相似型の積分微分作用素の増大固有関数を特徴づけ、特定の組み合わせが正の実数直線上の無限可除および自己分解可能な分布のラプラス変換であることを示している。主な貢献は、ハートマンのベッセル関数に関する結果を一般化し、新たな階乗類似積とラプラス変換の恒等式を用いて、一般化ミタグ・レフラー関数および級数関数にまで拡張した点である。

ABSTRACT

We provide the increasing eigenfunctions associated to spectrally negative self-similar Feller semigroups, which have been introduced by Lamperti. These eigenfunctions are expressed in terms of a new family of power series which includes, for instance, the modified Bessel functions of the first kind and some generalizations of the Mittag-Leffler function. Then, we show that some specific combinations of these functions are Laplace transforms of self-decomposable or infinitely divisible distributions concentrated on the positive line with respect to the main argument, and, more surprisingly, with respect to a parameter of the process. In particular, this generalizes a result of Hartman (1976) obtained for the increasing solution of the Bessel differential equation. Finally, we compute, for some cases, the associated decreasing eigenfunctions and derive the Laplace transform of the exponential functionals of some spectrally negative Lévy processes with a negative first moment.

研究の動機と目的

• 自己相似型の積分微分作用素と関連するスペクトル的に負のLévy過程に関連する増大固有関数を特徴づける。
• これらの固有関数の特定の比および変換が、ℝ⁺ 上の無限可除または自己分解可能な分布のラプラス変換であることを確立する。
• Lévy過程から生じる一般化された級数関数の広いクラスにまで、修正ベッセル関数に関するハートマンの古典的結果を拡張する。
• スペクトル的に負の自己相似マルコフ過程の指数的関数および最初の通過時刻のラプラス変換を明示的に導出する。
• 無限可除性の文脈において、ミタグ・レフラー関数やベッセル関数といった既知の特殊関数を統一・拡張する新しい一般化階乗記号および関連する級数を導入する。

提案手法

• 本研究では、パrameter α, γ, ϱ を含む一般化階乗積を用いて定義される新しい級数族が用いられ、(α,γ)_{ϱ,n} と表記され、標準的階乗およびガンマ関数の性質を一般化する。
• 無限小生成作用素 L^{(γ)} は、ランベルティの写像を介して正の α-自己相似Feller過程の生成作用素として分析され、Lévy過程の指数的関数と関連づけられる。
• 増大固有関数 f_q(x) は、方程式 L^{(γ)}f_q(x) = qf_q(x) の解として、これらの一般化階乗級数を用いて構成される。
• 得られた分布のラプラス変換は、固有関数の関数的形およびその対数微分の解析を通じて導出される。
• 本稿では、一般化階乗を用いて定義される一般化ミタグ・レフラー型関数 E_{ϱ,β,γ}(x) および I_{α,γ,ϱ}(x) が導入・分析され、既知の特殊関数を統一・拡張する。
• 重要な恒等式が導出され、特に lim_{ϱ↓1} I_{α,γ,ϱ}(x) = e^{x/α} が得られ、これは極限で指数関数に収束することを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相似型積分微分作用素 L^{(γ)} の増大固有関数が、正の実数直線上の無限可除分布のラプラス変換であるための条件は何か？
• RQ2 修正ベッセル関数の比の無限可除性に関するハートマンの結果は、Lévy過程から生じるより広いクラスの特殊関数へ一般化可能か？
• RQ3 負の一次モーメントを有するスペクトル的に負のLévy過程の指数的関数のラプラス変換の構造は何か？ そして、一般化階乗級数を用いてどのように表現できるか？
• RQ4 一般化階乗積 (α,γ)_{ϱ,n} は、ミタグ・レフラー関数やベッセル関数といった既知の特殊関数を、無限可除性の文脈でどのように統一・拡張するか？
• RQ5 パrameter ψ(γ) と固有関数比の無限可除性との関係は何か？ また、安定過程の状況に一般化するとどうなるか？

主な発見

• 1 < ϱ < 2, β ≥ 0, γ > 1 − ϱ の条件下で、q ↦ 1 / E_{ϱ,ϱβ,γ}(q) は正の自己分解可能な分布のラプラス変換である。
• 同じ条件下で、q ↦ exp(q E'_{ϱ,ϱβ,γ}(q) / E_{ϱ,ϱβ,γ}(q)) は正の無限可除分布のラプラス変換である。
• 0 < a < A および γ ≥ γ₀ のとき、E_{ϱ,ϱβ,γ+ρ}(a) と E_{ϱ,ϱβ,γ}(A) の比は、正の無限可除分布のラプラス変換である。ここで ρ = φ(λ) である。
• 安定過程の状況では、I_{α,γ,ϱ}(c_ϱ x) = ∑_{n=0}^∞ x^n / (α,γ)_{ϱ,n} が導入され、lim_{ϱ↓1} I_{α,γ,ϱ}(x) = e^{x/α} が得られ、指数関数に収束することが示された。
• 1 < ϱ < 2, α > 0, γ ≥ 0 の条件下で、q ↦ 1 / I_{α,γ,ϱ}(q) は正の自己分解可能な分布のラプラス変換である。
• 安定過程の設定において、q ↦ exp(q I'_{α,γ,ϱ}(q) / I_{α,γ,ϱ}(q)) は正の無限可除分布のラプラス変換である。