[論文レビュー] Infinite families of 2-designs and 3-designs from linear codes

Cunsheng Ding, Chengju Li|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Assmus-Mattsonの定理および準完全非線形関数と平面関数の性質を用いて、特に二進および三進循環符号から、無限族の2-デザインおよび3-デザインを構成する。主な貢献は、射影的三進循環符号に基づく予想される無限族を含む、これらのデザインの明示的なパrameter化である。

ABSTRACT

The interplay between coding theory and $t$-designs started many years ago. While every $t$-design yields a linear code over every finite field, the largest $t$ for which an infinite family of $t$-designs is derived directly from a linear or nonlinear code is $t=3$. Sporadic $4$-designs and $5$-designs were derived from some linear codes of certain parameters. The major objective of this paper is to construct many infinite families of $2$-designs and $3$-designs from linear codes. The parameters of some known $t$-designs are also derived. In addition, many conjectured infinite families of $2$-designs are also presented.

研究の動機と目的

• 既知の構成を拡張して、線形符号から直接導かれる無限族の2-デザインおよび3-デザインを確立すること。
• 特に二進および三進符号に対して、既知のt-デザインの正確なパラメータを線形符号を用いて特定すること。
• 射影的三進循環符号に基づく予想される2-デザインの無限族を提示し、それらを検討すること。
• 特にt ≥ 2であるt-デザインに関して、符号理論と組合せデザイン理論の相互作用を探索すること。
• Assmus-Mattsonの定理が適用できない場合にt-デザインの存在を証明するための、同定理を超える新しい手法を開発すること。

提案手法

• 特定の重みの符号語からなる線形符号およびその双対符号にAssmus-Mattsonの定理を適用し、t-デザインを導出する。
• 特に準完全非線形（APN）関数および平面関数によって定義される二進および三進循環符号の重み分布を用いる。
• 固定重みの符号語の台がt-デザインのブロックを形成するという古典的構成法を採用する。
• 射影的三進循環符号の重み分布を分析し、特定のパラメータを持つ予想される2-デザインを導出する。
• 差族の性質およびデザイン上の群作用を活用して、t-デザインを代数的構造に関連付ける。
• ハミング符号およびリード・マラー符号に関する既知の結果を拡張し、2-デザインおよび3-デザインの新しい無限族を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の例を越えて、線形符号から2-デザインおよび3-デザインの無限族を体系的に構成することは可能か？
• RQ2 二進および三進循環符号から導かれる2-デザインおよび3-デザインの正確なパラメータは何か？
• RQ3 射影的三進循環符号に基づく予想される2-デザインの無限族は、すべての奇数m ≥ 3に対して有効か？
• RQ4 線形符号から導かれるt-デザインのパラメータは、ステイナー系などの既知の組合せデザインとどのように比較できるか？
• RQ5 Assmus-Mattsonの定理が適用されない場合に、t-デザインの存在を証明するためにどのような新しい手法が必要か？

主な発見

• 本稿は、APN関数によって定義される二進循環符号から、各族に対して明示的なパラメータが導かれた無限族の2-デザインおよび3-デザインを構成する。
• 二進ハミング符号に対して、既知の2-デザイン（パラメータ：2-((q^m−1)/(q−1), 3, q−1)）を例2〜5を用いて一般化する。
• 定理15は、特定の二進循環符号の双対が、m ≥ 3に対してパラメータ3-(2^m−1, 2^{m−1}, 2^{m−2}) の3-デザインを生成することを確立する。
• 定理17およびその推論は、平面関数に関連する符号から得られる2-デザインの無限族を提示し、パラメータは次元mに依存する。
• 予想21は、射影的三進循環符号の双対符号における重みkの符号語の台が、すべての奇数m ≥ 3に対して2-デザインを形成することを提唱し、λはmに依存する。
• 本稿は、本研究で構成された3-デザインの総数がmに関して指数関数的であることを示し、すべてが線形符号から導出されることを示しており、符号理論とt-デザインの強い関連性を示している。