[論文レビュー] Narrow-Sense BCH Codes over $\gf(q)$ with Length $n=\frac{q^m-1}{q-1}$

Shuxing Li, Cunsheng Ding+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、長さ $n = \frac{q^m - 1}{q - 1}$ の $\mathrm{GF}(q)$ 上の狭義BCH符号を調査し、特に $q=3$ の三進符号（長さ $n = \frac{3^m - 1}{2}$）に注目する。特定の符号の次元、最小距離、重み分布を同定し、Griesmerの不等式を満たす三進BCH符号のクラスを特定するとともに、その応用として興味深いアクセス構造を有する秘密分散方式への応用を示している。

ABSTRACT

Cyclic codes over finite fields are widely employed in communication systems, storage devices and consumer electronics, as they have efficient encoding and decoding algorithms. BCH codes, as a special subclass of cyclic codes, are in most cases among the best cyclic codes. A subclass of good BCH codes are the narrow-sense BCH codes over $\gf(q)$ with length $n=(q^m-1)/(q-1)$. Little is known about this class of BCH codes when $q>2$. The objective of this paper is to study some of the codes within this class. In particular, the dimension, the minimum distance, and the weight distribution of some ternary BCH codes with length $n=(3^m-1)/2$ are determined in this paper. A class of ternary BCH codes meeting the Griesmer bound is identified. An application of some of the BCH codes in secret sharing is also investigated.

研究の動機と目的

• 長さ $n = \frac{q^m - 1}{q - 1}$ の $\mathrm{GF}(q)$ 上の狭義BCH符号の次元、最小距離、重み分布を同定すること。特に $q=3$ の場合に焦点を当てる。
• Griesmerの不等式を満たす三進BCH符号のクラスを特定し、与えられた長さと次元に対して最小距離の観点で最適性を示すこと。
• これらの符号が秘密分散方式にどのように応用できるかを検討し、重み分布を活用して興味深いアクセス構造を実現すること。
• $q > 2$ の場合にほとんど未解明であるこのクラスのBCH符号について体系的な研究を開始し、今後の研究のための未解決問題を提示すること。

提案手法

• $\mathrm{GF}(q)$ 上の巡回部分集合と最小多項式を用いて、狭義BCH符号の生成多項式を同定する。
• BCHの不等式を適用し、設計距離 $\delta$ に基づいて最小距離の下界を確立する。
• 有限体上での二次形式とトレース関数を用いて、符号の重み分布を分析する。
• 巡回部分集合の基数を用いた再帰的次元計算により、設計距離を増加させる符号の次元を同定する。
• 文献[1, 7, 28, 30]の枠組みを応用し、$w_{\text{min}}/w_{\text{max}} > (q-1)/q$ を満たす線形符号から秘密分散方式を構築する。
• Magma などの計算ツールを用いて具体例を解析し、$q > 3$ の符号パラメータに関する予想を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $n = \frac{3^m - 1}{2}$ の $\mathrm{GF}(3)$ 上の狭義BCH符号の次元、最小距離、重み分布は何か？
• RQ2 これらの三進BCH符号の中で、Griesmerの不等式を満たすものはどれか？（最適性を示す）
• RQ3 これらの符号を用いて、非自明なアクセス構造を持つ秘密分散方式を構築できるか？
• RQ4 $\lceil m/2 \rceil < i \leq m-1$ の場合、符号 $\mathcal{C}_{(n,q,m,(q^i-1)/(q-1))}$ の構造は何か？
• RQ5 $q > 3$ の場合、最大および第二位の部分集合リーダーは何か？ また、それに対応する符号のパラメータは何か？

主な発見

• $i \geq 3$ の場合、狭義BCH符号 $\mathcal{C}_{(n,3,m,\delta_i)}$ の次元は、$\mathcal{C}_{(n,3,m,\delta_2)}$ の次元が既知であれば、巡回部分集合 $C_{\delta_i}$ の基数を用いて再帰的に計算可能である。
• Griesmerの不等式を満たす三進BCH符号のクラスが同定され、与えられた長さと次元に対して最小距離の観点で最適性が確認された。
• 定理16, 17, 21の符号は $m \geq 5$ の場合に $w_{\text{min}}/w_{\text{max}} > 2/3$ を満たし、興味深いアクセス構造を持つ秘密分散方式の構築が可能である。
• 特定の三進BCH符号の重み分布が完全に同定された。特に、部分集合リーダーに対応する設計距離 $\delta_i$ を持つ符号について。
• $q=3$ の場合、$i \leq \lceil m/4 \rceil$ の範囲で $\mathcal{C}_{(n,3,m,\delta_i)}$ および $\tilde{\mathcal{C}}_{(n,3,m,\delta_i)}$ のパラメータが決定され、$|C_{\delta_i}|$ を用いた再帰的次元計算が行われた。
• 符号 $\mathcal{C}_{(n,q,m,(q^{m-1}-1)/(q-1))}$ の次元は、$q = p^s$ とすると $\binom{p+m-2}{m-1}^s + 1$ で下から抑えられ、例からその値はこの下界よりも著しく大きいことが示唆された。