[論文レビュー] Infinitely many Lagrangian fillings

Roger Casals, Honghao Gao|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 47被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、標準接触3次元球面内の最大tbt正のLegendrianトーラスリンク $(n,m)$ について、$(2,m)$, $(3,3)$, $(3,4)$, $(3,5)$ を除き、標準シンプレクティック4次元球体内で無限個の非ハミルトニアン同相な正確なラグランジュ部分多様体の埋め込みが存在することを証明している。著者らは、$…rm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ とマッピングクラス群 $M_{0,4}$ の忠実な表現を、フレーム付き層のモジュライ空間の座標環に取り入れることで、無限順位のラグランジュコネクションを構成し、ラグランジュコネクションモノイドおよび無限個の高 genus の正確なラグランジュ部分多様体をもつ Stein 曲面における指数的増加部分群の存在を確立している。

ABSTRACT

We prove that all maximal-tb Legendrian torus links (n,m) in the standard contact 3-sphere, except for (2,m),(3,3),(3,4) and (3,5), admit infinitely many Lagrangian fillings in the standard symplectic 4-ball. This is proven by constructing infinite order Lagrangian concordances which induce faithful actions of the modular group PSL(2,Z) and the mapping class group M(0,4) into the coordinate rings of algebraic varieties associated to Legendrian links. Our results imply that there exist Lagrangian concordance monoids with subgroups of exponential-growth, and yield Stein surfaces homotopic to a 2-sphere with infinitely many distinct exact Lagrangian surfaces of higher-genus. We also show that there exist infinitely many satellite and hyperbolic knots with Legendrian representatives admitting infinitely many exact Lagrangian fillings.

研究の動機と目的

• どのLegendrianリンクも、標準シンプレクティック4次元球体内で無限個の非ハミルトニアン同相な正確なラグランジュ部分多様体の埋め込みをもつかどうかという未解決問題を解決すること。
• 最大tbt正のLegendrianトーラスリンクに対して、明示的な無限族の非ハミルトニアン同相な正確なラグランジュ部分多様体の埋め込みを構成すること。
• 指数的増加の部分群をもつラグランジュコネクションモノイドの存在を示すこと。
• 既知の無限個の埋め込み例から、サテライトおよび双曲的絡み目の場合に正確なラグランジュコボルドゥズを構成することで、結果をより一般の絡み目タイプへ拡張すること。
• フレーム付き層のモジュライ空間を通じて、クラスター代数の構造とラグランジュ埋め込みの数との間の関係を確立すること。

提案手法

• フレーム付き可解層のモジュライ空間 $\mathcal{M}(\Lambda(n,m))$ 上における $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ および $M_{0,4}$ の作用の幾何的実現を用いて、無限順位のラグランジュコネクションを構成すること。
• 微小局所層理論を用いて、座標環 $\mathbb{C}[\mathcal{M}(\Lambda(n,m))]$ に誘導される作用によってラグランジュ埋め込みを区別すること。
• クラスター代数の技法を用いて、$\mathcal{M}(\Lambda(n,m))$ の代数的構造を分析すること。ここで $\mathcal{M}(\Lambda(n,m))$ は、グラスマンニアン $\mathrm{Gr}(n,n+m)$ の準射影的部分多様体として実現される。
• モノドロミー表現が $\mathbb{C}[\mathcal{M}(\Lambda(n,m))]$ 上に忠実であることを証明し、$\Lambda(3,6)$ および $\Lambda(4,4)$ に対して無限個の異なる埋め込みが存在することを示すこと。
• $\Lambda(3,6)$ および $\Lambda(4,4)$ から特定のサテライトおよび双曲的絡み目への正確なラグランジュコボルドゥズを構成し、無限個の埋め込みの性質を移すこと。
• ラッピングされた Fukaya 圏および Chekanov-Eliashberg DGA の増幅を用いて、埋め込みが圏内での非同相な対象として区別されることを示すこと。

Figure 1. The Legendrian torus links $\Lambda(3,6)$ (left) and $\Lambda(4,4)$ (right).

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準接触3次元球体内のどのLegendrianリンクも、標準シンプレクティック4次元球体内で無限個の非ハミルトニアン同相な正確なラグランジュ部分多様体の埋め込みをもつか。
• RQ2 フレーム付き層のモジュライ空間上のモノドロミー作用は、無限個の異なる正確なラグランジュ部分多様体の埋め込みを検出できるか。
• RQ3 無限個の埋め込みをもつLegendrianリンクのラグランジュコネクションモノイドの代数的構造は何か。また、指数的増加の部分群を含むか。
• RQ4 トーラスリンクから、より一般の絡み目タイプ（サテライトおよび双曲的絡み目）への無限個の埋め込みの性質を拡張できるか。
• RQ5 有限型クラスター代数のクラスター生成子の数と、特定のLegendrianリンクの正確なラグランジュ埋め込みの数との間に明確な対応があるか。

主な発見

• 最大tbt正のLegendrianトーラスリンク $(n,m)$ について、$(2,m)$, $(3,3)$, $(3,4)$, $(3,5)$ を除き、標準シンプレクティック4次元球体内で無限個の非ハミルトニアン同相な正確なラグランジュ部分多様体の埋め込みが存在する。
• この構成により、無限順位のラグランジュコネクションが得られ、これはシンプレクティックトポロジーにおいて、このようなコネクションの存在が初めて知られた例である。
• $\Lambda(3,6)$ のラグランジュコネクションモノイドには、フレーム付き層のモジュライ空間への忠実な $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 動作に起因する指数的増加の部分群が含まれる。
• 2次元球面とホモトピー同値な Stein 4次元多様体が存在し、それらは同じ滑らか同相型内に、無限個の互いに非ハミルトニアン同相な高 genus の正確なラグランジュ部分多様体を含む。
• 無限個のサテライトおよび双曲的絡み目（特に $1<r<p<q$ および $18p<s$ を満たす twisted torus knots $T(p,q,r,s)$ を含む）が、正確なラグランジュ埋め込みを無限個もつLegendrian代表をもつ。
• 50, 883, 25080 は、それぞれ型 $D_4$, $E_6$, $E_8$ の有限型クラスター代数におけるクラスター生成子の数を表し、それらは $\Lambda(3,3)$, $\Lambda(3,4)$, $\Lambda(3,5)$ に対して正確なラグランジュ埋め込みの数と一致する。

Figure 2. The diagrams on each of the left hand sides of the equalities are called $A_{2}$ -spiders in [ 47 , Section 4] . The diagrams on the right hand sides follow the notational convention of [ 31 ] , white vertices are sources and black vertices are sinks. The white tripod represents $\det(v_{i