[論文レビュー] Infinitely many monotone Lagrangian tori in del Pezzo surfaces

Renato Vianna|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ほぼトーリックファイブレーション（ATFs）および三角形型ほぼトーリックベース図（ATBDs）を用いて、$k = 0,3,4,5,6,7,8$ の場合に、$\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P}^2$ のデル・ペッツォ面における単調なラグランジュ環面の無限個のシンプレクティック同型類を構成する。Markov型方程式を用いてそれらの存在を証明し、$\mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P}^2$ に対しても結果を拡張し、$k=2$ の場合についても同様の結果が成り立つと予想する。また、シンプレクティゼーションを施した後、シンプレクティックな反カノニカル環面の補集合において、それらの環面が無限個の正確なラグランジュ環面を導くことを示す。

ABSTRACT

We construct almost toric fibrations (ATFs) on all del Pezzo surfaces, endowed with a monotone symplectic form. Except for $\mathbb{C}P^2 \# 1 \overline{\mathbb{C}P^2}$ and $\mathbb{C}P^2 \# 2 \overline{\mathbb{C}P^2}$ , we are able to get almost toric base diagrams (ATBDs) of triangular shape and prove the existence of infinitely many symplectomorphism (in particular Hamiltonian isotopy) classes of monotone Lagrangian tori in $\mathbb{C}P^2 \# k \overline{\mathbb{C}P^2}$, for k=0,3,4,5,6,7,8. We name these tori $Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$. Using the work of Karpov-Nogin, we are able to classify all ATBDs of triangular shape. We are able to prove that $\mathbb{C}P^2 \# 1 \overline{\mathbb{C}P^2}$ also have infinitely many monotone Lagrangian tori up to symplectomorphism and we conjecture that the same holds for $\mathbb{C}P^2 \# 2 \overline{\mathbb{C}P^2}$ . Finally, the Lagrangian tori $Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$ inside a del Pezzo surface $X$ can be seen as monotone fibres of ATFs, such that, over its edge lies a fixed anticanonical symplectic torus $Σ$. We argue that $Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$ give rise to infinitely many exact Lagrangian tori in $X \setminus Σ$, even after attaching the positive end of a symplectization to the boundary of $X \setminus Σ$.

研究の動機と目的

• 単調なデル・ペッツォ面における、無限個の単調ラグランジュ環面のシンプレクティック同型類を構成すること。
• ノードの交換とスライドの手法を $\mathbb{C}P^2$ から $k \neq 1,2$ のすべての $\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P}^2$ に拡張すること。
• Karpov-Noginの研究を用いて三角形型ATBDsを分類し、$k=0,3,4,5,6,7,8$ に対してそれらの存在を証明すること。
• $\Theta^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$ として構成された環面が、シンプレクティゼーションの正の端を加えた後、$X\setminus\Sigma$ において無限個の正確ラグランジュ環面を導くことを示すこと。
• $\mathbb{C}P^2\#2\overline{\mathbb{C}P}^2$ において同様の環面が無限個存在すると予想し、その構成を $\mathbb{Q}$-Gorenstein退化と関連付けること。

提案手法

• ノードの交換とスライドを用いて、すべての単調なデル・ペッツォ面にほぼトーリックファイブレーション（ATFs）を構成する。
• 三角形型ほぼトーリックベース図（ATBDs）を用いて、Markov型IおよびII方程式によるパラメータ化により、単調ラグランジュ環面を記述する。
• 境界のMaslov-2凸包 $\mho_L$ 不変量を用いて、擬全純円盤の数え上げに基づき、環面のシンプレクティック同型類を区別する。
• 重み付き射影空間 $\mathbb{C}P(a^2,b^2,c^2)$ における交差の正の性質とネックストレッチング技法を用いて $\mho_L$ を計算する。
• ATBDsを $m$-ブロックコホーホロジーの層の集合と、Hacking-Prokhorov理論による $\mathbb{Q}$-Gorenstein滑らか化と関連付ける。
• 補助的なLefschetzファイブレーションを用いて、ATBDsの退化を、非可動なファイバーを持つ特異ラグランジュファイブレーションとして解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのデル・ペッツォ面 $\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P}^2$（$k=0,3,4,5,6,7,8$）は、無限個のシンプレクティック同型類の単調ラグランジュ環面を有するか？
• RQ2 $\mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P}^2$ および $\mathbb{C}P^2\#2\overline{\mathbb{C}P}^2$ に対しても、無限個の単調ラグランジュ環面の構成を拡張できるか？
• RQ3 デル・ペッツォ面における単調ラグランジュ環面は、$\mathbb{Q}$-Gorenstein滑らか化による極限オーロラントフォールドへの退化を検出できるか？
• RQ4 本稿で提示されたATBDsは、非可動なラグランジュファイバーの連続体を支持するか？
• RQ5 デル・ペッツォ面における $m$-ブロックコホーホロジーの層の集合と、そのATBDs内のノードの型との間に対応関係があるか？

主な発見

• $k=0,3,4,5,6,7,8$ の場合に、$\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P}^2$ において、無限個のシンプレクティック同型類の単調ラグランジュ環面が存在し、$\Theta^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$ としてパラメータ化される。
• この構成は、3-ブロックコホーホロジーに関するKarpov-Noginの研究を用いて完全に分類された三角形型ATBDsに依存する。
• $\mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P}^2$ に対しても、同様の環面が無限個存在することが証明され、$k=2$ の場合についても同様の結果が予想される。
• ラグランジュ環面 $\Theta^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$ は、固定された反カノニカルなシンプレクティック環面 $\Sigma$ が辺上に投影されるATFsの単調なファイバーである。
• これらの環面は、シンプレクティゼーションの正の端を加えた後も、$X\setminus\Sigma$ において無限個の正確ラグランジュ環面を導く。
• 本稿では、ATBDsとオーロラントフォールドへの $\mathbb{Q}$-Gorenstein滑らか化との間の関係を確立し、ラグランジュ環面が退化を検出できる可能性を示唆する。