[論文レビュー] Infinitely many positive solutions for nonlinear equations with non-symmetric potential

Weiwei Ao, Juncheng Wei|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所化エネルギー法とリャプノフ＝シュミット還元を用いて、非対称なポテンシャルを有する非線形シュレーディンガー方程式に対して、無限個の正の解の存在を確立する。Cerami-Passaseo-Soliminiの結果をより広い非線形性へ一般化し、変分的証明を新たに提示することで、十分に小さい $\delta > 0$ に対して、ポテンシャルおよび非線形性の緩い減衰性および非退化性条件のもとで、無限個の束縛状態が存在することを示した。

ABSTRACT

We consider the following nonlinear Schrodinger equation [{l} Δu-(1+δV)u+f(u)=0 in \R^N, u>0 in \R^N, u\in H^1(\R^N).] where $V$ is a potential satisfying some decay condition and $ f(u)$ is a superlinear nonlinearity satisfying some nondegeneracy condition. Using localized energy method, we prove that there exists some $δ_0$ such that for $0

研究の動機と目的

• 周期的または対称的ポテンシャルを超えて、非線形シュレーディンガー方程式に対して無限個の正の解の存在を一般化すること。
• Cerami-Passaseo-Solimini [11] の結果を、非退化性条件を満たすより広いクラスの超線形非線形性へ拡張すること。
• 集中・コンパクトネス法や周期性に依存しない、局所化エネルギー法とリャプノフ＝シュミット還元を用いた新しい変分的証明を提供すること。
• 同じ枠組みを用いて、楕円型系に対して無限個の束縛状態の存在を確立すること。

提案手法

• 非対称ポテンシャル領域における複数のピークを持つ解を構成するために、局所化エネルギー法を用いる。
• 問題を有限次元の変分問題と剰余方程式に分離するために、リャプノフ＝シュミット還元を適用する。
• $u \leq 0$ のとき $f(u)$ が消える $C^{1+\sigma}$ 非線形性 $f(u)$ を用い、極限問題の基底状態解における非退化性条件を満たす。
• ピーク間の相互作用を制御するため、分離距離 $\rho > \rho_0$ を持つ $k$ 点配置の集合 $\Lambda_k$ を定義する。
• 翻訳された基底状態 $U_{Q_i}, V_{Q_i}$ の和として形式的解を構成し、陰関数定理を用いて剰余項を補正する。
• エネルギー汎関数が $\Lambda_k$ 上で最小値をとることを証明し、エネルギー汎関数の最大値が境界を除く配置空間の内部で達成されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期性や小引数の仮定をせず、非対称ポテンシャルを有する非線形シュレーディンガー方程式に対して、無限個の正の解の存在を確立できるか？
• RQ2 局所化エネルギー法とリャプノフ＝シュミット還元を組み合わせることで、Cerami-Passaseo-Solimini [11] の多重性結果をより一般な非線形性に対して新たな証明が得られるか？
• RQ3 非線形性 $f(u)$ およびポテンシャル $V(x)$ にどのような条件を課せば、非対称な場合に無限個の束縛状態が存在するか？
• RQ4 任意に大きな $k$ に対して、解における複数のピーク間の相互作用をどのように制御すれば、相異なる解の存在を保証できるか？

主な発見

• 任意の $k \in \mathbb{N}$ に対して、$\delta_0 > 0$ が存在し、すべての $0 < \delta < \delta_0$ に対して、方程式は少なくとも $k$ 個の相異なる正の解を有する。
• $(k+1)$ ピーク解のエネルギー準位 $\mathcal{C}_{k+1}$ は、$\mathcal{C}_{k+1} \geq \mathcal{C}_k + I(U,V)$ を満たす。ここで $I(U,V)$ は単一ピーク解のエネルギーである。
• 配置空間 $\Lambda_k$ 上でのエネルギー汎関数の最大値は内部 $\Lambda_k^\circ$ で達成され、境界集中は排除される。
• 解構造は摂動に対して安定である：補正項 $\phi_{\mathbf{Q}}$, $\psi_{\mathbf{Q}}$ は配置パラメータ $\mathbf{Q}$ に関して $C^1$ として存在する。
• この手法は楕円型系に対しても適用可能であり、このような系に対して無限個の正の束縛状態の存在を確立する。
• 極限問題 $\Delta w - w + f(w) = 0$ の基底状態解 $w$ の非退化性は、陰関数定理の適用にとって不可欠である。