[論文レビュー] Infinitesimal Hilbertianity of locally CAT($\kappa$)-spaces

Simone Di Marino, Nicola Gigli+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、有界集合上で有限な正のRadon測度を備えた局所的CAT(κ)な距離測度空間が、無限小ヒルベルト空間であることを確立している。つまり、そのSobolev空間$W^{1,2}$はヒルベルト空間である。証明は、抽象的な微分の空間を、幾何的接バンドルへの等長埋め込みとして構成し、CAT(0)空間における接錐のヒルベルトに類似した構造を活用して、Sobolevノルムにおける平行四辺形法則が導かれる。

ABSTRACT

We show that, given a metric space $(Y,d)$ of curvature bounded from above in the sense of Alexandrov, and a positive Radon measure $\\mu$ on $Y$ giving finite mass to bounded sets, the resulting metric measure space $(Y,d,\\mu)$ is infinitesimally Hilbertian, i.e. the Sobolev space $W^{1,2}(Y,d,\\mu)$ is a Hilbert space. The result is obtained by constructing an isometric embedding of the `abstract and analytical' space of derivations into the `concrete and geometrical' bundle whose fibre at $x\\in Y$ is the tangent cone at $x$ of $Y$. The conclusion then follows from the fact that for every $x\\in Y$ such a cone is a CAT(0)-space and, as such, has a Hilbert-like structure.

研究の動機と目的

• 局所的CAT(κ)空間に局限られた距離測度空間が、有界集合上で有限なRadon測度を備える場合、無限小ヒルベルト空間であることを確立すること。
• 滑らかでない距離空間における抽象的解析（微分）と具体的幾何（接錐）を結びつけること。
• 可分な場合に限らない（一般に非可分な）局所的CAT(κ)空間への無限小ヒルベルト性の拡張。
• 距離測度空間の異なる部分集合におけるSobolev空間定義の整合性問題の解決。

提案手法

• 抽象的な微分の空間から、距離空間上の幾何的接バンドルへの等長埋め込みを構成する。
• CAT(κ)空間における点における接錐がCAT(0)空間であるという事実を活用し、それらがヒルベルトに類似した構造を持つことを利用する。
• 正規1次コホモロジーの重ね合わせ原理を用いて、距離測度空間における曲線と微分を関連付ける。
• 絶対連続曲線の再パrametrization技術を用いて、速度および微分的対象を定義する。
• 可分な部分集合への極限的議論を用いて、可分な空間から非可分な空間への結果の拡張を行う。
• Lindelöf性と測度論的正則性を用いて、全空間上でμ-ほとんど everywhereに平行四辺形恒等式が成り立つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界集合上で有限なRadon測度を備えた任意の局所的CAT(κ)距離測度空間は、無限小ヒルベルト空間であるSobolev空間構造を有するか？
• RQ2 距離測度空間における抽象的微分の概念は、空間の幾何的接バンドル構造と自然に同一視可能か？
• RQ3 CAT(0)空間における接錐のヒルベルトに類似した構造は、Sobolev空間$W^{1,2}$のグローバルなヒルベルト性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 非可分な距離測度空間の異なる可分部分集合における$W^{1,2}$の定義は一貫しているか？
• RQ5 一般の局所的CAT(κ)空間上で、$W^{1,2}$ノルムの平行四辺形恒等式はμ-ほとんど everywhereに成り立つか？

主な発見

• 任意の局所的CAT(κ)空間$({\rm Y},{ m d})$に正のRadon測度$\nu$を備え、有界集合上で有限である場合、Sobolev空間$W^{1,2}({\rm Y},{ m d},\nu)$はヒルベルト空間である。
• 鍵となるステップは、微分の空間を、各ファイバーがCAT(0)空間に等長な幾何的接バンドルへの等長埋め込みを構成することである。
• CAT(κ)空間における点における接錐は、ヒルベルトに類似した構造を備え、これによりヒルベルト性が無限小レベルで継承される。
• 非可分な場合でも、コンパクトに台を持つ$\mu$-無視可能な境界を有する可分な部分集合$\bar{\Omega}$への還元により、結果は成り立つ。
• 平行四辺形恒等式は、可分な部分集合への局所的制限と重ね合わせ原理により、μ-ほとんど everywhereに成り立つ。
• この設定では、Cheeger、Gigli、Di MarinoらのSobolev空間$W^{1,2}$の標準的定義が、可分部分空間における一貫性により一致する。