[論文レビュー] Infinity Algebras, Cohomology and Cyclic Cohomology, and Infinitesimal Deformations

Michael Penkava|ArXiv.org|Nov 7, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、テンソルおよび外積コールゲブラ上の余微分を用いて、$A_{{u}}$ および $L_{{u}}$ 代数の統一的枠組みを確立し、ホッフシュィルトおよびリー係数論を一般化して無限小変形を分類する。$A_{{u}}$ および $L_{{u}}$ 代数の不変内積を保つ変形が、循環係数論によって分類されることを示し、対称群作用を通じてグラフ複体と関連づける。

ABSTRACT

An A-infinity algebra is given by a codifferential on the tensor coalgebra of a (graded) vector space. An associative algebra is a special case of an A-infinity algebra, determined by a quadratic codifferential. The notions of Hochschild and cyclic cohomology generalize from associative to A-infinity algebras, and classify the infinitesimal deformations of the algebra, and those deformations preserving an invariant inner product, respectively. Similarly, an L-infinity algebra is given by a codifferential on the exterior coalgebra of a vector space, with Lie algebras being special cases given by quadratic codifferentials. There are natural definitions of cohomology and cyclic cohomology, generalizing the usual Lie algebra cohomology and cyclic cohomology, which classify deformations of the algebra and those which preserve an invariant inner product. This article explores the definitions of these infinity algebras, their cohomology and cyclic cohomology, and the relation to their infinitesimal deformations.

研究の動機と目的

• コールゲブラ的余微分形式を用いて、ホッフシュィルトおよびリー係数論を $A_{{\nu}}$ および $L_{{\nu}}$ 代数に一般化すること。
• 係数論理論を用いて、$A_{{\nu}}$ および $L_{{\nu}}$ 代数の無限小変形を分類すること。
• 循環係数論が、$A_{{\nu}}$ および $L_{{\nu}}$ 両設定において不変内積を保つ変形を分類することを示すこと。
• $A_{{\nu}}$ 代数に不変内積を備えた場合、そのメトリックリボングラフのホモロジーにおけるサイクルと関連づける関係を確立すること。
• $L_{{\nu}}$ 代数へ枠組みを拡張し、そのメトリック通常グラフの複体に作用することを示すこと。

提案手法

• $A_{{\nu}}$ 代数を、順位付きベクトル空間上のテンソルコールゲブラ上の余微分として定義し、結合的代数を特別な二次的ケースとして含む。
• $L_{{\nu}}$ 代数を、外積コールゲブラ上の余微分として定義し、リー代数を特別な二次的ケースとして含む。
• 余微分作用素およびその交換子を用いて、$A_{{\nu}}$ および $L_{{\nu}}$ 代数の係数論および循環係数論を構成する。
• 内積および $L_{{\nu}}$ 構造を用いて、循環チェイン空間に微分を導入し、微分付きリー代数構造を定義する。
• 特に $\mathbb{Z}_2$-順位付き設定において、テンソルおよび外積コールゲブラを関連付けるために、順位付きベクトル空間のパリティ反転を用いる。
• 形式的枠組みを適用し、循環係数論群が不変内積を保つ無限小変形を分類することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コールゲブラ的余微分を用いて、ホッフシュィルトおよびリー係数論を $A_{\infty}$ および $L_{\infty}$ 代数にどのように一般化できるか？
• RQ2 循環係数論が、$A_{\infty}$ および $L_{\infty}$ 代数の不変内積を保つ変形を分類する役割を果たすのはどのような仕組みか？
• RQ3 $A_{\infty}$ 代数に不変内積を備えた場合、そのメトリックリボングラフの複体におけるホモロジーにおけるサイクルがどのように生じるか？
• RQ4 $L_{\infty}$ 代数における循環チェインの対称性構造は、$A_{\infty}$ 代数と比べてどのように異なり、グラフ複体作用にどのような影響を与えるか？
• RQ5 $L_{\infty}$ 構造および内積から、循環チェイン上の微分付きリー代数構造がどのように生じるか？

主な発見

• 不変内積を備えた $A_{\infty}$ 代数の循環係数論 $HC(V)$ は、内積を保つ無限小変形を分類する。
• 不変内積を備えた $L_{\infty}$ 代数において、循環係数論 $HC(V)$ は内積を保つ変形を分類し、$HC^2(V)$ がその変形を制御する。
• 不変内積を備えた $L_{\infty}$ 代数上の循環チェイン空間 $CC(V)$ は、微分 $D$ およびゲルステンハーバー型括弧を用いて、微分付きリー代数構造を誘導する。
• 構造がリー代数である場合、$L_{\infty}$ 代数の係数論 $HC^n(V)$ は、自明係数 $\mathbf{k}$ におけるリー代数係数論 $H^{n+1}(V, \mathbf{k})$ と同型である。
• 完全な対称群は、$L_{\infty}$ 代数の循環チェイン複体に作用するが、$A_{\infty}$ 代数とは異なり、グラフ複体作用におけるより豊かな対称性を生じる。
• この枠組みにより、不変内積を備えた $L_{\infty}$ 代数が、メトリック通常グラフの複体に作用することが示され、$A_{\infty}$ のリボングラフへの一般化が達成される。