[論文レビュー] Influence of a spatial structure on the long time behavior of a competitive Lotka-Volterra type system

Hélène Leman, Sylvie Méléard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2014

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、タイプと空間によって構造化された集団をモデル化する非局所的競争的ロトカ・ヴォルテラ系に、空間的拡散と非局所的競争を組み合わせたものである。定常状態の存在を確立し、長期的挙動が競争率および主要固有値に強く依存することを示し、パrameterの閾値に応じて、あるタイプが優位になるか、共存が生じるかを明らかにした。

ABSTRACT

To describe population dynamics, it is crucial to take into account jointly evolution mechanisms and spatial motion. However, the models which include these both aspects, are not still well-understood. Can we extend the existing results on type structured populations, to models of populations structured by type and space, considering diffusion and nonlocal competition between individuals? We study a nonlocal competitive Lotka-Volterra type system, describing a spatially structured population which can be either monomorphic or dimorphic. Considering spatial diffusion, intrinsic death and birth rates, together with death rates due to intraspecific and interspecific competition between the individuals, leading to some integral terms, we analyze the long time behavior of the solutions. We first prove existence of steady states and next determine the long time limits, depending on the competition rates and the principal eigenvalues of some operators, corresponding somehow to the strength of traits. Numerical computations illustrate that the introduction of a new mutant population can lead to the long time evolution of the spatial niche.

研究の動機と目的

• 空間的構造と非局所的競争が、構造化集団における長期的集団動態に与える影響を理解すること。
• タイプ構造モデルの結果を、表現型的および空間的構造を併せ持つ系へと拡張すること。
• 拡散項および積分型競争項を有する2タイプ（単型/二型）集団モデルにおける定常状態の存在および安定性を分析すること。
• 時間経過とともに、ある集団タイプが優位になるか、あるいは共存が生じるかの条件を特定すること。
• 長期的挙動の観点から、突然変異体の侵入が空間的ニッチ進化に与える影響を調査すること。

提案手法

• 拡散（m₁, m₂）、空間依存成長率（a₁(x), a₂(x)）、および積分項による非局所的競争（I_ij）を有する2つの結合された放物型PDE系を用いて二型集団をモデル化する。
• 領域境界 ∂X における人口移動のない境界条件（ノイマン境界条件）を課して、境界でのフラックスがない状態をモデル化する。
• エネルギー推定および関連線形作用素のスペクトル解析を用いて、解の漸近的極限を調べることで、長期的挙動を分析する。
• ハートマン＝グロブマンの定理を適用して、平衡点の周囲で系を線形化し、定常状態の局所的安定性を評価する。
• 初期条件を主固有関数の部分空間に制限することで、動的を2次元ロトカ・ヴォルテラ系に簡略化するための部分空間還元技術を用いる。
• L²およびL∞収束結果を用いて、特定のパrameter領域において解が定常状態に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長期的に見て、どのような条件下で1つの集団タイプが他方を上回るか？
• RQ2 競争作用素の主固有値は、定常状態の安定性にどのように影響するか？
• RQ3 新たな突然変異体の導入は、長期的に見て空間的ニッチの進化を引き起こすことができるか？
• RQ4 2つのタイプの共存が生じるか、あるいは1つのタイプが除外されるかを決定づける要因は何か？
• RQ5 非局所的競争と空間的拡散の相互作用は、系の漸近的挙動にどのように影響するか？

主な発見

• 本系は非負の定常状態を4つ有する：(0,0)、(ḡ₁,0)、(0,ḡ₂)、および(ḡ₁,ḡ₂)。ここで、(ḡ₁,0) および (0,ḡ₂) は単型定常状態である。
• 定常状態 (ḡ₁,0) は、H₁ > 0 かつ H₂μ₁₁ − H₁μ₂₁ < 0 を満たす場合、大域的漸近安定である。これは、タイプ1がその内在的成長率および競争パラメータを満たす場合に、優位になることを意味する。
• 定常状態 (0,ḡ₂) は、H₁ > 0 かつ H₂μ₁₁ − H₁μ₂₁ < 0 の場合に不安定であるが、一部の解は依然としてこれに収束するため、条件付き安定性を示している。
• H₁μ₂₂ − H₂μ₁₂ = 0 かつ H₂μ₁₁ − H₁μ₂₁ < 0 のとき、(ḡ₁,0) への収束と (0,ḡ₂) の近傍での非収束が混在するため、後者の不安定性が確認される。
• ∫|g₂(t,x)|²dx → 0 かつ ∫|g₁(t,x)|²dx が0から非ゼロに保たれる場合、解の長期的極限は (ḡ₁,0) となる。これは、上記のパラメータ条件のもとで成立する。
• 数値的例示により、突然変異体の侵入が空間的ニッチの長期的進化を引き起こすことが確認され、空間的構造が進化的ダイナミクスにおいて果たす役割が強調された。