[論文レビュー] Information Complexity versus Corruption and Applications to Orthogonality and Gap-Hamming

Amit Chakrabarti, Ranganath Kondapally+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、通信複雑性における情報複雑性とスムーズな不正技術の間の基礎的関係を確立し、長方形分布における入力に対して情報複雑性がスムーズな不正バウンドを包含することを証明する。この結果を応用して、一様分布下での直交性問題の情報複雑性に対して最適な Ω(n) の下界を確立し、Gap-Hamming-Distance解析における主要な課題を、新しい技術的枠組みで解決する。

ABSTRACT

Three decades of research in communication complexity have led to the invention of a number of techniques to lower bound randomized communication complexity. The majority of these techniques involve properties of large submatrices (rectangles) of the truth-table matrix defining a communication problem. The only technique that does not quite fit is information complexity, which has been investigated over the last decade. Here, we connect information complexity to one of the most powerful "rectangular" techniques: the recently-introduced smooth corruption (or "smooth rectangle") bound. We show that the former subsumes the latter under rectangular input distributions. We conjecture that this subsumption holds more generally, under arbitrary distributions, which would resolve the long-standing direct sum question for randomized communication. As an application, we obtain an optimal $Ω(n)$ lower bound on the information complexity---under the {\em uniform distribution}---of the so-called orthogonality problem (ORT), which is in turn closely related to the much-studied Gap-Hamming-Distance (GHD). The proof of this bound is along the lines of recent communication lower bounds for GHD, but we encounter a surprising amount of additional technical detail.

研究の動機と目的

• ランダム化通信複雑性における情報複雑性とスムーズな不正技術の間の正式な関係を確立すること。
• 長方形分布下で情報複雑性がスムーズな不正バウンドを包含することを証明することで、ランダム化通信複雑性における長年の直接和の問題を解決すること。
• この理論的関係を応用して、一様分布下での直交性問題の情報複雑性に対する最適な Ω(n) の下界を導出すること。
• 情報理論的手法を用いて、最近のGap-Hamming-Distanceの通信下界を洗練された技術的分析で拡張すること。

提案手法

• 著者らは、通信プロトコルの構造とその情報理論的コストの分析により、長方形分布下で情報複雑性がスムーズな不正バウンドを包含することを証明する。
• 中心極限定理と半正規分布の性質に基づく、新規の反集中性の議論を用いて、直交性問題の解析における脱出確率を制限する。
• 入力が摂動された場合の内積の挙動をモデル化するため、正規分布の混合を構築する。n が十分に大きい場合の分布収束を利用する。
• 正規分布の尾部バウンドと集中性の議論を用いて、特に Pr[|Q| > (c+α)b] を条件付き期待値と分散の制御を用いてバウンドする。
• 矛盾による証明に依拠する：反集中性の補題が成立しないと仮定すると、δ → 0 のとき一貫しない尾部バウンドが生じ、これにより補題が証明される。
• 情報理論的ツールと古典的手法を統合し、特に最近のGap-Hamming-Distanceへのアプローチを情報複雑性フレームワークに適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長方形分布における入力に対して、情報複雑性はスムーズな不正バウンドを包含するか？
• RQ2 情報複雑性の手法を用いて、一様分布下での直交性問題に対する最適な下界を導出できるか？
• RQ3 ランダム化通信複雑性における情報複雑性と直接和の問題の関係は何か？
• RQ4 半正規分布および正規分布を含む反集中性の議論を、通信プロトコルにおける脱出確率を制限するためにどのように用いることができるか？
• RQ5 情報複雑性を用いて、長方形分布を超えたスムーズな不正技術をどの程度一般化できるか？

主な発見

• 長方形分布下で情報複雑性はスムーズな不正バウンドを包含し、通信複雑性における下界の統一的枠組みを提供する。
• 一様分布下での直交性問題の情報複雑性に対して最適な Ω(n) の下界が確立され、既知の通信複雑性下界と一致する。
• 反集中性の補題の証明は、正規分布の尾部バウンドからの矛盾に依拠しており、脱出確率が大きくなりすぎないことを示す。
• 解析により、内積 Q の分布が正規分布の混合に収束することが明らかになり、正確な尾部推定が可能になる。
• この結果は、情報複雑性が自然に直接和の性質を捉えていることを示し、合成関数の下界への明快な道筋を提供する。
• 本稿で開発された技術的フレームワークは、ランダム化通信複雑性における一般の直接和予想を解決する道筋を提供する。