[論文レビュー] A direct sum theorem in communication complexity via message compression

Rahul Jain, Jaikumar Radhakrishnan+1 more|ArXiv.org|Apr 12, 2003

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 12被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、情報コストを核とする新しいメッセージ圧縮技術を用いて、2人用の有界誤差ランダム化kラウンド通信プロトコルに対して、直接和定理を確立する。低情報プロトコルが情報コストcに対してO(kc)の通信量を有する決定的プロトコルに圧縮可能であることを示すことにより、f^mの通信複雑度に対する下界Ω(m(ε²/(2k))·Cₖ[ ],δ+2ε(f) − 2)を導出し、複数ラウンドにおける情報コストの超加法性を証明する。

ABSTRACT

We prove lower bounds for the direct sum problem for two-party bounded error randomised multiple-round communication protocols. Our proofs use the notion of information cost of a protocol, as defined by Chakrabarti, Shi, Wirth and Yao and refined further by Bar-Yossef, Jayram, Kumar and Sivakumar. Our main technical result is a `compression' theorem saying that, for any probability distribution $μ$ over the inputs, a $k$-round private coin bounded error protocol for a function $f$ with information cost $c$ can be converted into a $k$-round deterministic protocol for $f$ with bounded distributional error and communication cost $O(kc)$. We prove this result using a substate theorem about relative entropy and a rejection sampling argument. Our direct sum result follows from this `compression' result via elementary information theoretic arguments. We also consider the direct sum problem in quantum communication. Using a probabilistic argument, we show that messages cannot be compressed in this manner even if they carry small information. Hence, new techniques may be necessary to tackle the direct sum problem in quantum communication.

研究の動機と目的

• 有界誤差設定下でのkラウンドプライベートコインランダム化通信プロトコルに対して直接和定理を確立すること。
• 情報コストを核とするツールとして、1ラウンドから複数ラウンドプロトコルへのメッセージ圧縮技術を拡張すること。
• 情報コストに基づく圧縮が量子通信プロトコルへ応用可能かどうかを調査すること。
• 複数ラウンド設定における直接和問題の通信複雑度下界の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 圧縮定理を導入：入力分布μ上での情報コストcのkラウンドプライベートコインプロトコルは、分布誤差が有界なkラウンド決定的プロトコルにO(kc)の通信量で変換可能である。
• 相対エントロピーに関する部分状態定理とリジェクションサンプリングの議論を用いて、圧縮結果を達成する。
• 基本的な情報理論的不等式を用いて、圧縮定理から直接和結果を導出する。
• 部分空間上のユニタリ不変測度と確率的構成を用いて、量子測定演算子の挙動を分析する。
• 部分空間上での集中不等式と和集合不等式を用いて、ほとんどの射影が固定された低次元部分空間に強く射影しないことを示す。
• ハール測度がユニタリ変換に関して不変であることに着目し、乱数基底選択における悪影響の確率をバウンドする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 情報コストを道具として用いることで、kラウンドプライベートコインランダム化通信プロトコルに対して直接和性質を確立できるか？
• RQ2 情報コストが小さいkラウンドプロトコルを、情報コストとラウンド数に比例する通信量を有する決定的プロトコルに圧縮することは可能か？
• RQ3 同様のメッセージ圧縮技術が、情報コストが可逆性を示さない可能性がある量子通信プロトコルへも拡張可能か？
• RQ4 古典的プロトコルにおける圧縮および直接和定理において、ラウンド数kとの最適依存関係は何か？
• RQ5 特に等価関数に関して、同時量子プロトコルに対しても直接和性質を証明できるか？

主な発見

• 入力分布μ上での情報コストcのkラウンドプライベートコインランダム化プロトコルは、μ下で誤差がδ以下であるkラウンド決定的プロトコルにO(kc)の通信量で圧縮可能である。
• kラウンドプロトコルの直接和定理は、R^k_δ(f^m) ≥ m·(ε²/(2k)·C^k[ ],δ+2ε(f) − 2)と表現され、直接和における通信複雑度の超加法性を確立する。
• 圧縮結果は、相対エントロピーに関する部分状態定理とリジェクションサンプリングの議論に依存しており、プライベートコインプロトコルを決定的プロトコルでシミュレートする。
• 量子通信に関しては、小さな情報を運ぶメッセージが同様の技術で圧縮できないことが示され、量子直接和問題に対しては新たな手法が必要であることを示唆する。
• 測定演算子{M_ij}の確率的構成により、任意の固定部分空間W（次元d）に対して、Wに強く射影する射影M_ijの割合が高確率で小さいことが保証される。
• 与えられたパrameter制約下で、任意の固定部分空間に強く射影する射影が3n/4以上存在する確率は1未満であることが分析により示され、良好な測定集合の存在が証明される。