[論文レビュー] Information geometry and the hydrodynamical formulation of quantum mechanics

Mathieu Molitor|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなリーマン多様体上の滑らかな確率密度の空間に、フィッシャーに類似たリーマン計量と指数型アフィン接続を備えた、無限次元情報幾何の枠組みを確立する。ドンブロフスキーの構成を用いて、接 bundle にシンプレクティック構造を導出し、シュレーディンガー方程式を再現する。これにより、流体的定式化を通じて量子力学的運動と情報幾何を結びつける。

ABSTRACT

Let (M,g) be a compact, connected and oriented Riemannian manifold. We denote D the space of smooth probability density functions on M. In this paper, we show that the Frechet manifold D is equipped with a Riemannian metric g^{D} and an affine connection abla^{D} which are infinite dimensional analogues of the Fisher metric and exponential connection in the context of information geometry. More precisely, we use Dombrowski's construction together with the couple (g^{D}, abla^{D}) to get a (non-integrable) almost Hermitian structure on D, and we show that the corresponding fundamental 2-form is a symplectic form from which it is possible to recover the usual Schrodinger equation for a quantum particle living in M. These results echo a recent paper of the author where it is stressed that the Fisher metric and exponential connection are related (via Dombrowski's construction) to Kahler geometry and quantum mechanics in finite dimension.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体上の滑らかな確率密度の無限次元空間へ、有限次元情報幾何の構造（特にフィッシャー計量と指数型接続）を拡張すること。
• 量子力学の流体的定式化が、情報幾何の幾何的構造から導かれるかどうかを調査すること。
• 確率密度の統計多様体の接 bundle 上のドンブロフスキー構成から生じるシンプレクティック形式とシュレーディンガー方程式との対応関係を確立すること。
• 量子力学における波動関数が、進化する確率密度の幾何的構造から自然に生じることを示し、有限次元の結果を一般化すること。

提案手法

• 全測度が1である滑らかで正の確率密度のフリッェチ多様体 $\mathcal{D}$ を、コンパクトなリーマン多様体 $(M,g)$ 上に定義する。
• ドンブロフスキーの構成を用いて、$\mathcal{D}$ 上に無限次元フィッシャー計量 $g^{\mathcal{D}}$ と指数型接続 $\nabla^{\mathcal{D}}$ の類似物を構成する。
• ドンブロフスキーの手法をペア $(g^{\mathcal{D}}, \nabla^{\mathcal{D}})$ に適用し、接 bundle $T\mathcal{D}$ 上にほぼヘルミート構造を得る。
• このほぼヘルミート構造の基本2形式がシンプレクティックであり、系の運動を支配することを示す。
• エネルギー汎関数に対応するハミルトニアンベクトル場を特定することで、このシンプレクティック構造からシュレーディンガー方程式を導出する。
• 密度の流体的分解 $\rho = |\psi|^2$, $\phi = \text{Im}(\log \psi)$ から波動関数 $\Psi = \sqrt{\rho} e^{-i\phi/\hbar}$ を構成し、確率密度と量子状態を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上の滑らかな確率密度の無限次元空間へ、フィッシャー計量と指数型接続を一般化できるか？
• RQ2 この無限次元統計多様体上でドンブロフスキーの構成が、シュレーディンガー方程式を再現するシンプレクティック構造をもたらすか？
• RQ3 量子力学における波動関数は、情報幾何における進化する確率密度の幾何的構造とどのように関係するか？
• RQ4 無限次元における情報幾何的原則から、量子力学の流体的定式化を導出できるか？
• RQ5 標準的な量子力学形式は、この構成によって、純粋に統計的かつ幾何的基礎から自然に生じるか？

主な発見

• コンパクトなリーマン多様体 $(M,g)$ 上の滑らかな確率密度の空間 $\mathcal{D}$ は、フィッシャー計量と指数型接続の無限次元類似物であるリーマン計量 $g^{\mathcal{D}}$ とアフィン接続 $\nabla^{\mathcal{D}}$ を備えている。
• ドンブロフスキーの構成を $(g^{\mathcal{D}}, \nabla^{\mathcal{D}})$ に適用すると、非可積分なほぼヘルミート構造が $T\mathcal{D}$ 上に得られ、その基本2形式はシンプレクティックである。
• この $T\mathcal{D}$ 上のシンプレクティック形式は、ポテンシャル $V$ を持つ $M$ 上の量子粒子に対してシュレーディンガー方程式を再現するハミルトニアンフローを生成する。
• 密度 $\rho$ の流体的分解から得られる波動関数 $\Psi = \sqrt{\rho} e^{-i\phi/\hbar}$ は、統計多様体を複素 $L^2$ 関数のヒルベルト空間へ自然に埋め込む。
• この構成は有限次元の結果を一般化する：ドンブロフスキーの手法による $T\mathcal{P}_n^\times$ 上のケーラー構造は $\mathbb{P}(\mathbb{C}^n)$ に同型であり、本研究はこれを無限次元へ拡張する。
• 本論文は、情報幾何的原則から量子力学を幾何学的に導出することを確立し、波動関数やエルミート演算子が確率密度上の統計的構造から自然に生じることを示唆する。