[論文レビュー] Information Theory and Statistical Mechanics Revisited

Jian Zhou|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2016

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Jaynesの最大エントロピー原理を一般化し、Boltzmann-Gibbs、Bose-Einstein、Fermi-Dirac統計を統一する一価パラメータ族のエントロピー関数 $ H_\epsilon $ を導入する。$ H_\epsilon $ に対して最大エントロピーを適用することで、一般化された重み関数が $ \phi $-指数関数として得られ、これら統計が修正された $ \phi $-エントロピー枠組みから自然に導かれることが示される。$ H_{BE} $、$ H_{BGS}+1 $、$ H_{FD} $ はそれぞれ $ \epsilon = +1 $、$ 0 $、$ -1 $ に対応する。

ABSTRACT

We derive Bose-Einstein statistics and Fermi-Dirac statistics by Principle of Maximum Entropy applied to two families of entropy functions different from the Boltzmann-Gibbs-Shannon entropy. These entropy functions are identified with special cases of modified Naudts' $ϕ$-entropy.

研究の動機と目的

• Jaynesの最大エントロピー原理を、Boltzmann-Gibbs-Shannonエントロピーを超えて、Bose-Einstein や Fermi-Dirac 統計のような非古典的統計を導出する枠組みへ拡張すること。
• Bose-Einstein および Fermi-Dirac 統計が、標準的な Boltzmann-Gibbs-Shannon エントロピーとは異なるエントロピー関数を最大化することによって生じることを示すこと。
• Naudtsの $ \phi $-エントロピーに基づく一般化された指数関数族の枠組み内で、Boltzmann、Bose-Einstein、Fermi-Dirac の3つの主要な統計的重み関数を統一すること。
• 補間的 Acharya-Swamy 統計および分数的除外統計も、この一般化されたエントロピー枠組みから導かれることが示されること。
• $ \phi $-関数の変形に基づく、より広範な統計力学モデルのクラスの基盤を築くこと。この枠組みは、弦理論との潜在的関連性を有する。

提案手法

• 正規化および平均エネルギーの制約の下で $ H_\epsilon $ を最大化するためのラグランジュ乗数法を適用し、臨界点 $ p_i(\epsilon) = \frac{1}{e^{a + bE_i} - \epsilon} $ を得る。
• 一価パラメータ族のエントロピー関数 $ H_\epsilon = \sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{\epsilon}(1 + \epsilon p_i)\ln(1 + \epsilon p_i) - p_i \ln p_i \right) $ を導入し、既知の統計の間を補間する。
• Naudtsの修正 $ \phi $-エントロピーの特別なケースとして $ \phi_\epsilon(p) = p(1 + \epsilon p) $ を特定し、対応する修正 $ \phi $-対数関数および $ \phi $-指数関数を定義する。
• Bose-Einstein 統計と Fermi-Dirac 統計の重み関数が、それぞれ $ \epsilon = +1 $ および $ \epsilon = -1 $ の $ \phi $-指数関数として得られ、$ \epsilon = 0 $ のときには Boltzmann-Gibbs 統計に回帰する。
• 異なる $ \phi_g(p) = p(1 - gp)(1 + (1 - g)p) $ を用いて、分数的除外統計へ拡張し、一般化されたエントロピー $ H_g $ および重み関数 $ p_g(E) = \widetilde{\exp}_{\phi_g}(a + bE) $ を得る。
• 修正 $ \phi $-対数関数と $ \phi $-指数関数の逆関係を通じて、一般化されたエントロピー関数と統計的重み関数の体系的関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bose-Einstein および Fermi-Dirac 統計は、Boltzmann-Gibbs-Shannon エントロピーとは異なるエントロピー関数を用いた最大エントロピー原理から導出可能か？
• RQ2 一般化されたエントロピー関数 $ H_\epsilon $ は Naudts の $ \phi $-エントロピー枠組みとどのように関係し、物理的意味は何か？
• RQ3 Bose-Einstein と Fermi-Dirac 統計の間の補間は、一様なエントロピー関数族から体系的に導出可能か？
• RQ4 修正 $ \phi $-指数関数および $ \phi $-対数関数は、異なる統計における統計的重み関数を統一するために果たす役割は何か？
• RQ5 分数的除外統計は、この一般化された $ \phi $-エントロピー枠組みに埋め込まれるか？ もしそうなら、対応するエントロピー関数は何か？

主な発見

• 正規化および平均エネルギーの制約の下でエントロピー関数 $ H_\epsilon $ を最大化すると、確率分布 $ p_i(\epsilon) = \frac{1}{e^{a + bE_i} - \epsilon} $ が得られ、これはすべての $ \epsilon $ に対してカノニカル集合を一般化する。
• $ \epsilon = +1 $ のとき、この分布は Bose-Einstein 統計に対応する。$ \epsilon = -1 $ のとき、Fermi-Dirac 統計に対応する。$ \epsilon = 0 $ のとき、Boltzmann-Gibbs 統計に還元される。
• $ H_{BE} $、$ H_{BGS}+1 $、$ H_{FD} $ は、$ \phi_\epsilon(p) = p(1 + \epsilon p) $ に対する Naudts の修正 $ \phi $-エントロピーの特別なケースであり、それぞれ $ \epsilon = +1 $、$ 0 $、$ -1 $ に対応する。
• 3つの統計すべての統計的重み関数は、修正 $ \phi $-指数関数として得られる：$ p_{\epsilon}(E) = \widetilde{\exp}_{\phi_\epsilon}(a + bE) $。対応する逆 $ \phi $-対数関数は $ \widetilde{\ln}_\phi(u) = \ln|1 + \epsilon u| - \ln u $ で定義される。
• 異なる $ \phi_g(p) = p(1 - gp)(1 + (1 - g)p) $ を用いることで、分数的除外統計へも拡張可能であり、一般化されたエントロピー $ H_g $ および重み関数 $ p_g(E) = \widetilde{\exp}_{\phi_g}(a + bE) $ が得られる。これは Wu の関数方程式と整合的である。
• 本論文は、一般化されたエントロピー関数と統計力学モデルとの間の体系的関係を確立し、Boltzmann-Gibbs-Shannon エントロピーのすべての変形が、適切な $ \phi_{\mathbf{T}}(p) = p - \sum_{n \geq 2} T_{n-1} p^n $ に対する $ \phi_{\mathbf{T}} $-エントロピーとして表現可能であることを示唆している。この枠組みは、弦理論への応用可能性を有する。