[論文レビュー] Gibbs and boltzmann entropy in classical and quantum mechanics

Sheldon Goldstein, Joel L. Lebowitz+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 43被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、古典的および量子力学におけるギブズとボルツマンのエントロピーを比較し、平衡状態では両者が等価なエントロピー値をもたらすものの、ボルツマンエントロピー（個々の系に定義される）が、非平衡状態および量子熱平衡の文脈において、熱力学的エントロピーをよりよく捉えていると主張している。研究は、現代の量子力学的ダイナミクスと整合する個々の系に依存する（ボルツマン的）平衡の見方を支持する。

ABSTRACT

The Gibbs entropy of a macroscopic classical system is a function of a probability distribution over phase space, i.e., of an ensemble. In contrast, the Boltzmann entropy is a function on phase space, and is thus defined for an individual system. Our aim is to discuss and compare these two notions of entropy, along with the associated ensemblist and individualist views of thermal equilibrium. Using the Gibbsian ensembles for the computation of the Gibbs entropy, the two notions yield the same (leading order) values for the entropy of a macroscopic system in thermal equilibrium. The two approaches do not, however, necessarily agree for non-equilibrium systems. For those, we argue that the Boltzmann entropy is the one that corresponds to thermodynamic entropy, in particular in connection with the second law of thermodynamics. Moreover, we describe the quantum analog of the Boltzmann entropy, and we argue that the individualist (Boltzmannian) concept of equilibrium is supported by the recent works on thermalization of closed quantum systems.

研究の動機と目的

• 古典的および量子系におけるギブズエントロピーとボルツマンエントロピーの概念的・物理的差異を明確にすること。
• 集合体に基づく（ギブズ的）か、系固有の（ボルツマン的）かのどちらのエントロピー概念が、特に非平衡状態において熱力学的エントロピーにより適切に対応するかを評価すること。
• 閉じた量子系における熱平衡に関する最近の知見と整合性を確認しながら、ボルツマンエントロピーの量子アナログを特定し、その妥当性を検討すること。
• 非平衡状態および量子領域において、個々の系に依存する（ボルツマン的）平衡の見方が、集合体に基づく（ギブズ的）見方よりも物理的により根拠があると主張すること。

提案手法

• 位相空間上の確率分布の関数としてギブズエントロピーを計算するためにギブズ集合体を用いる。
• ボルツマンエントロピーを、集合体ではなく個々の系に適用可能な位相空間上の関数として定義する。
• 巨視的系が熱平衡にある状況において、2つのエントロピー定義を比較し、主要なオーダーでの一致を示す。
• 非平衡系を分析することで、2つのエントロピー概念の間の不一致を明らかにし、ボルツマンエントロピーが熱力学的整合性において優位であることを示す。
• ボルツマンエントロピー概念を量子力学に拡張し、純粋状態における固有状態に基づくエントロピーがその量子アナログであると特定する。
• 閉じた量子系における熱平衡に関する最近の理論的および数値的結果に依拠し、個々の系に依存する平衡概念の妥当性を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典力学において、ギブズエントロピーとボルツマンエントロピーは定義および物理的解釈においてどのように異なるか？
• RQ2 ギブズエントロピーとボルツマンエントロピーはどのような条件下で同じ値をとり、どのような条件下で乖離するか？
• RQ3 非平衡プロセスにおいて、ギブズ的かボルツマン的かのどちらのエントロピー概念が熱力学的エントロピーにより適切に対応するか？
• RQ4 ボルツマンエントロピーの量子アナログは何か、そして閉じた量子系における熱平衡とどのように関係するか？
• RQ5 個々の系に依存する（ボルツマン的）平衡の見方は、現代の量子統計力学において支持を受けるか？

主な発見

• 巨視的系が熱平衡にある場合、ギブズエントロピーとボルツマンエントロピーは同じ主要オーダーの値をもたらし、平衡状態での一貫性を確認する。
• 非平衡状態では、2つのエントロピー概念が必ずしも一致せず、ボルツマンエントロピーが第二法則熱力学とより物理的に整合していることが示された。
• ボルツマンエントロピーは、特に非平衡ダイナミクスにおいて、熱力学的エントロピーを表す正しい物理的量であると主張される。
• ボルツマンエントロピーの量子アナログは、閉じた系の純粋状態において自然に現れる固有状態に基づくエントロピーであると特定された。
• 閉じた量子系における熱平衡に関する最近の理論的業績は、集合体に基づく（ギブズ的）アプローチよりも個々の系に依存する（ボルツマン的）平衡概念を支持する。
• 本論文は、ボルツマン的フレームワークが、古典的および量子的両領域における熱平衡のより整合的で物理的に意味のある記述を提供すると結論づける。