[論文レビュー] Inhomogeneous Jacobi equation and Holographic subregion complexity

Avirup Ghosh, Rohit Mishra|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、境界部分領域に対応する最小表面の変形を記述する非同次ヤコビ方程式を解くことで、純粋な AdS₄ に近いブーストされたブラックブレーンの摂動の下で、漸近的に AdS な時空におけるホログラフィック部分領域複雑度を摂動的変分法によって計算する手法を開発する。この手法により、ストリップ型およびディスク型領域における体積複雑度の一次変化が得られ、3+1次元において球対称な部分領域では、一次変化が消えるという主要な結果が得られる。

ABSTRACT

We derive a general expression for obtaining Holographic subregion complexity for asymptotically $AdS$ spacetimes, pertubatively around pure $AdS$ using a variational technique. An essential step in finding subregion complexity is to identify the bulk minimal surface of the entangling subregion. Our method therefore heavily relies on solutions of an inhomogeneous version of Jacobi equation, used to study deformations of the entangling surface for perturbations of the bulk metric. Using this method we have obtained the change in complexity for a strip and a circular disk like subsystem for \emph{boosted} black brane like perturbations over pure $AdS_4$. As a corollary, we find that for spherical subsytems in $3+1$ dimensional bulk, the linear change of subregion complexity for \emph{boosted} black brane like perturbations over pure $AdS_4$ , vanishes.

研究の動機と目的

• 純粋な AdS を超えて、漸近的に AdS な時空におけるホログラフィック部分領域複雑度を計算する一般の摂動的手法を開発すること。
• 計量の摂動の下で境界部分領域に対応するボリュームの最小化表面を特定すること。これは複雑度計算において不可欠である。
• ストリップおよび円形ディスク型の幾何構造に対して、ブーストされたブラックブレーンに類似した摂動の下で、部分領域複雑度の一次変化を導出すること。
• 3+1次元の時空において球対称な部分領域に対して、このような摂動の下で部分領域複雑度の一次変化が消えることを示すこと。
• 摂動された重力的背景における表面変形を研究するための非同次ヤコビ方程式に基づく枠組みを確立すること。

提案手法

• この手法は、境界部分領域に対応する最小コ-d次元2の表面に囲まれる、最大コ-d次元1のボリューム表面の体積変化を計算するための変分的技術を用いる。
• それは、計量摂動の下でのエンタングルメント表面の一次変形を記述する非同次ヤコビ方程式を解くことに依存する。
• 導出では、表面の埋め込みと時空計量の両方の変化を扱い、純粋な AdS₄ を中心とした摂動展開を用いる。
• 外在的曲率および平均曲率ベクトルの変化を、ガウスおよびコーディン方程式を用いて接線成分と法線成分に分けて取り扱う。
• 形式的枠組みは重力のシンプレクティック構造と境界量子状態の複雑度との関係を用い、Complexity=Volume 予想と整合する。
• 2次摂動および表面項を扱うために、リーマンテンソル、計量摂動、接続の変化に関連する重要な恒等式が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なボリューム幾何を持つ漸近的に AdS な時空において、ホログラフィック部分領域複雑度をどのように摂動的に計算できるか。
• RQ2 非同次ヤコビ方程式は、計量摂動の下での最小表面の変形を決定する上で果たす役割は何か。
• RQ3 ストリップおよび円形ディスク型の境界部分領域形状に対して、ブーストされたブラックブレーンに類似した摂動の下で、部分領域複雑度の線形変化はどのように振る舞うか。
• RQ4 なぜ、3+1次元の時空において球対称な部分領域では、このような摂動の下で複雑度の線形変化が消えるのか。
• RQ5 外在的曲率および平均曲率ベクトルの接線成分の変化が、全体の複雑度変化に与える寄与は何か。

主な発見

• 純粋な AdS₄ に近いブーストされたブラックブレーン背景におけるストリップ型部分領域に対して、ホログラフィック部分領域複雑度の一次変化は非ゼロであり、非同次ヤコビ方程式を用いて計算可能である。
• 同じ摂動の下で円形ディスク型部分領域に対しても、複雑度の一次変化は非ゼロであり、同じ変分的枠組みを用いて導出されている。
• この手法は、表面変形の非同次ヤコビ方程式を解くことで、複雑度変化を体系的に計算でき、摂動的アプローチを提供する。
• 3+1次元の時空において球対称な部分領域に対しては、ブーストされたブラックブレーンに類似した摂動の下で、部分領域複雑度の一次変化が消えることが示され、対称性に起因するキャンセルが生じることを示している。
• 形式的枠組みは計量と埋め込みの両方の変化を扱い、接線成分の寄与が最終的な非同次ヤコビ方程式に影響しないことが示され、計算を単純化している。