[論文レビュー] Instability results for the wave equation in the interior of Kerr black holes

Jonathan Luk, Jan Sbierski|Edinburgh Research Explorer|Dec 27, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、亜極端Kerrブラックホール時空における線形波動方程式の滑らかで多項式的に減衰する解が、そのエネルギーが事象の地平線で所定の上界および下界の多項式的境界を満たす限り、コーシー地平線で非退化エネルギーが無限大に達することを確立している。この結果は、Kerrブラックホール内部における根本的な不安定性メカニズムを示しており、強宇宙的裁縒予想を支持するものである。なぜなら、一般解がコーシー地平線で特異化することを示しているからである。

ABSTRACT

We prove that a large class of smooth solutions $ψ$ to the linear wave equation $\Box_gψ=0$ on subextremal rotating Kerr spacetimes which are regular and decaying along the event horizon become singular at the Cauchy horizon. More precisely, we show that assuming appropriate upper and lower bounds on the energy along the event horizon, the solution has infinite (non-degenerate) energy on any spacelike hypersurfaces intersecting the Cauchy horizon transversally. Extrapolating from known results in the Reissner--Nordström case, the assumed upper and lower bounds required for our theorem are conjectured to hold for solutions arising from generic smooth and compactly supported initial data on a Cauchy hypersurface. This result is motivated by the strong cosmic censorship conjecture in general relativity.

研究の動機と目的

• 亜極端Kerrブラックホールにおけるコーシー地平線の安定性を、線形スカラー摂動の下で調査すること。
• 線形波動方程式の滑らかな解が、コーシー地平線で正則のままであるか、特異化するかを特定すること。
• コーシー地平線で非退化エネルギーの爆発を保証する、事象の地平線に沿った初期データに必要な十分条件を同定すること。
• アインシュタイン真空方程式の簡略化モデルとして線形波動方程式を分析することで、強宇宙的裁縒予想を証明するための基礎的ステップを提供すること。

提案手法

• 主な光線フレームに基づく時空分解を用い、波動方程式をKerr内部で分析するための一般化された波動座標系を導入する。
• コーシー地平線および事象の地平線に近い領域で、乗数 $ L = -\frac{\Delta}{\rho^2} e_4 $ を用いたエネルギー推定を適用し、エネルギーフラックスを制御する。
• 非コンパactsな超曲面を取り扱うために、コンパクトに台を持つ近似列を用い、赤方偏移および青方偏移領域の減衰性質を用いて極限におけるエネルギー推定を導出する。
• 第一および第二の微分の安定性推定と青方偏移領域における不安定性推定を組み合わせたマルチスケール解析を実装し、ボリューム項を制御する。
• 超曲面 $ \gamma_\sigma $ および事象の地平線における境界項を含む重要なエネルギー不等式 (5.9) を導出し、適切なパラメータ選択の下で境界項がボリューム項を上回ることを示す。
• ボリューム項 $ \lesssim v_k^{\sigma\kappa_-\alpha} $ の減衰と境界項 $ \gtrsim v_k^{-(q+\delta)} $ の増大を用い、$ k \to \infty $ のとき、$ \Sigma_u^- \cap \{f^+ \geq v_k\} $ 上の全エネルギーが発散することを証明し、これによりコーシー地平線で無限大のエネルギーが生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 亜極端Kerr時空における線形波動方程式の解が、コーシー地平線で非退化エネルギーが無限大に達するための、事象の地平線に沿った初期データの条件は何か？
• RQ2 非線形アインシュタイン方程式を解かずに、線形波動方程式のダイナミクスのみを用いてコーシー地平線の不安定性を確立できるか？
• RQ3 コーシー地平線における非退化エネルギーの爆発は、一般相対性理論における強宇宙的裁縫予想と整合的か？
• RQ4 赤方偏移および青方偏移効果が、Kerrブラックホール内部のエネルギー推定においてどのように作用し、不安定性を生じさせるか？
• RQ5 物理的に妥当な初期エネルギーの境界のもとで、コーシー地平線と交差する空間的超曲面上の非退化エネルギーが無限大に達することを示せるか？

主な発見

• 角運動量がゼロでない亜極端Kerr時空における線形波動方程式 $ \Box_g \psi = 0 $ の解は、事象の地平線に沿ったエネルギーが適切な上界および下界の多項式的境界を満たす限り、コーシー地平線と横断的に交差する任意の空間的超曲面上で非退化エネルギーが無限大に達する。
• このような超曲面上の非退化エネルギーは無限大であり、これは解がコーシー地平線の任意の近傍で $ W^{1,2}_{\text{loc}} $ に属さないことを示している。
• 不安定性は、$ \gamma_\sigma $ 上の境界項が $ v_k^{-(q+\delta)} $ の割合で増大し、ボリューム項が $ v_k^{\sigma\kappa_-\alpha} $ の割合で減衰するというバランスに起因する。十分に大きな $ \sigma $ に対して、境界項が支配的になる。
• この証明は、乗数エネルギー推定を $ L = -\frac{\Delta}{\rho^2} e_4 $ を用いて行い、境界項の支配的性質のおかげで、$ \Sigma_u^- \cap \{f^+ \geq v_k\} $ を通るエネルギーフラックスが $ k \to \infty $ のとき発散することを示している。
• この結果は、強宇宙的裁縫予想と整合的である。なぜなら、完全な非線形設定において、時空計量のクリストッフェル記号が$L^2$ 積分可能でなくなる可能性があることを示唆しているからである。
• この定理は、事象の地平線に沿ったエネルギーが多項式的上界および下界を満たすという仮定の下で成り立つ。この仮定は、コーシー超曲面上で滑らかでコンパクトに台を持つ一般の初期データに対して成り立つと予想されている。