[論文レビュー] Instanton representation of Plebanski gravity. Consistency of the initital value constraints under time evolution

Eyo Eyo Ita|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Plebanski重力のインスタントン表現において、初期値制約の整合性を示している。時間発展における制約表面の保存を、ディラック手続きではなくラグランジュの運動方程式を用いて証明した。主な結果は、微分同型、ガウスの法則、ハミルトニアン制約の時間発展が弱く消えることであり、これにより新たな制約が生じないことが保証され、Petrov型I、D、Oの時空に対して理論の整合性が確認される。

ABSTRACT

The instanton representation of Plebanski gravity provides as equations of motion a Hodge self-duality condition and a set of `generalized' Maxwell's equations, subject to gravitational degrees of freedom encoded in the initial value constraints of general relativity. The main result of the present paper will be to prove that this constraint surface is preserved under time evolution. We carry this out not using the usual Dirac procedure, but rather the Lagrangian equations of motion themsleves. Finally, we provide a comparison with the Ashtekar formulation to place these results into overall context.

研究の動機と目的

• Plebanski重力のインスタントン表現における初期値制約が、時間発展のもとで保存されることを示すこと。
• 正準的ディラック手続きに依存せずに、ラグランジュの運動方程式を用いて理論の整合性を確立すること。
• インスタントン表現の制約構造とアシュテカール形式を比較し、概念的・構造的差異を明確にすること。
• インスタントン形式におけるガウスの法則およびハミルトニアン制約の役割を明らかにし、それらがアシュ惕カール形式のそれらとは、変換性およびゲージ不変性の観点で根本的に異なることを見る。
• 非正準変換を介してアシュテカール正準枠組みからインスタントン変数のポアソン括弧構造を導出すること。

提案手法

• インスタントン作用 $I_{\text{Inst}}$ の運動方程式から、力学変数 $A^a_i$ および $\bar{\theta}^a_i$ の時間発展を正準量子化を用いずに直接導出する。
• ラグランジュの運動方程式を用いて、微分同型、ガウスの法則、ハミルトニアン制約の時間微分を計算し、それらが弱く消えることを示す。
• 非退化な $B^i_a$ および $\text{det} \bar{\theta} \neq 0$ 条件に起因する制約を取り扱うために弱い等式 $\tilde{0}$ を適用する。
• 正準構造から導かれるポアソン括弧を用いて、インスタントン表現の制約代数とアシュテカール形式の制約代数を比較する。
• アシュテカール変数 $(A^a_i, \bar{\theta}^a_i)$ からインスタントン変数 $(A^a_i, \bar{\theta}^a_i)$ への非正準変換を実行し、対応するポアソン括弧を導出する。
• $\bar{\theta}^a_i = \theta_{ae} B^i_e$ の変換を用いて $\bar{\theta}_{ae}$ のポアソン括弧 $\nabla_{\text{inst}}$ を計算し、共変微分および逆磁場を含む非自明な $\theta$-$\theta$ 括弧が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Plebanski重力のインスタントン表現における制約表面は、時間発展のもとで不変のままであるか？
• RQ2 ディラック正準手続きを用いない状況下で、微分同型、ガウスの法則、ハミルトニアン制約の時間発展はどのように振る舞うか？
• RQ3 インスタントン形式における制約構造とアシュテカール形式における制約構造の関係は何か？
• RQ4 なぜインスタントン表現におけるハミルトニアン制約は、アシュテカール形式とは異なり、$SO(3,C)$ 変換のもとでゲージ不変でないのか？
• RQ5 インスタントン変数のポアソン括弧は何か？また、それらは正準的アシュテカール括弧とどのように異なるか？

主な発見

• 微分同型、ガウスの法則、ハミルトニアン制約の各初期値制約の時間微分は弱くゼロであり、制約表面が時間発展のもとで保存されることを確認した。
• 制約の時間発展は新たな制約を生成せず、これにより追加の条件を必要としないまま系が整合的であることが保証された。
• インスタントン表現におけるガウスの法則およびハミルトニアン制約は、アシュテカール形式とは異なり、$SO(3,C)$ 変換のもとでゲージ不変でない。これは、これらの制約が根本的に異なる役割を果たしていることを示唆している。
• 変数 $\theta_{ae}$ のポアソン括弧 $\nabla_{\text{inst}}$ は非自明であり、$\{\theta_{ae}(x), \theta_{bf}(y)\} = \epsilon^{ijm}\left((B^{-1}(y))^{f}_{j} D^{x}_{m} \theta_{ab}(x)(B^{-1}(x))^{e}_{i} + (B^{-1}(x))^{e}_{i} D^{y}_{m} \theta_{ba}(y)(B^{-1}(y))^{f}_{j}\right)\delta^{(3)}(\mathbf{x},\mathbf{y})$ で与えられ、非自明な自己可換性を示している。
• ディラック手続きを用いていないにもかかわらず、理論はディラックの意味で整合的である。整合性は正しく、ラグランジュの運動方程式から直接確立された。