[論文レビュー] Instantons on ALE spaces for classical groups

Hiraku Nakajima|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、A型の代数的局所空間（ALE空間）におけるインスタントンのADHM構成を、ユニタリ群から古典的群（SO(n)およびSp(n/2)）へ拡張する。そのために、図の自己同型 $*$、長さ最大のワイル群元に対応する反射関手 $Τ$、および転置演算 $t$ を組み合わせた自己同型を導入する。主な結果は、SO(n)/Sp(n/2)フレームドインスタントンのモジュライ空間が、U(n)インスタントンのモジュライ空間上のこの合成自己同型の固定点集合に同型であるというものである。

ABSTRACT

We give an ADHM type description of instantons on ALE spaces for classical groups as an extension of the description in [KN90] for unitary groups.

研究の動機と目的

• ALE空間上でのインスタントンのADHM記述をユニタリゲージ群から、特にSO(n)およびSp(n/2)を含む古典的群へ拡張すること。
• 関連する道具が既に整備されているにもかかわらず、SO/SpインスタントンがADHM形式で明示的に記述されていなかった文献の空白を埋めること。
• [KN90]および[Nak03]を基盤とし、反射関手 $\mathcal{F}$、図の自己同型 $*$、および転置 $t$ を用いて、SO(n)/Sp(n/2)インスタントンのモジュライ空間を完全かつ明示的に構成すること。
• U(n)インスタントンのモジュライ空間上での合成 $t \circ * \circ \mathcal{F}$ の固定点集合が、SO(n)/Sp(n/2)インスタントンのモジュライ空間を実現することを確立すること。
• モジュライ空間のUhlenbeck部分コンパクト化への拡張を検討し、自己同型がホメオモーティズムとして拡張され、固定点集合が依然として適切に定義されることを示すこと。

提案手法

• McKay対応を用いて、$\Gamma \subset \mathrm{SU}(2)$ の既約表現 $\rho_i$ をアフィンディンキン図の頂点に結びつける。
• 長さ最大のワイル群元 $w_0$ によって誘導される自己同型 $*$ を、$\rho_i^* \cong \rho_{i^*}$ と定義する。$A_\ell$ では $i^* = \ell - i + 1$ であり、$D_\ell$ や $E_6$ に対しても同様の規則が成り立つ。
• $w_0$ に関連する反射関手 $\mathcal{F}$ を適用し、$\zeta$ と $-\zeta$ のADHMデータを関連づける。これにより双対インスタントンの記述が可能になる。
• ゲージ群の性質（正則的またはシンプレクティック）に応じて、フレーミング空間 $W_i$ 上に双一次形式を介した転置演算 $t$ を定義する。
• U(n)インスタントンのモジュライ空間 $\mathfrak{M}_\zeta^{\mathrm{reg}}(\mathbf{v},\mathbf{w})$ 上に合成自己同型 $t \circ * \circ \mathcal{F}$ を構成する。
• ハイパーカイリィアン・モーメント写像とクーヴィー表現構造を用いて、この自己同型の固定点集合がSO(n)/Sp(n/2)フレームドインスタントンのモジュライ空間に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ALE空間上でのU(n)インスタントンのADHM構成を、SO(n)およびSp(n/2)インスタントンへどのように拡張できるか？
• RQ2 長さ最大のワイル群元によって誘導される図の自己同型 $*$ は、双対インスタントンモジュライ空間を関係付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 $w_0$ に対する反射関手 $\mathcal{F}$ は、$\zeta$ と $-\zeta$ のADHMデータの間の移行をどのように促進するか？
• RQ4 $t \circ * \circ \mathcal{F}$ の合成自己同型の固定点集合が、U(n)インスタントンモジュライ空間上でどのように幾何学的・代数的構造を持つのか？
• RQ5 モジュライ空間のUhlenbeck部分コンパクト化に拡張された自己同型を定義できるか？また、固定点集合は依然として適切に定義されるか？

主な発見

• ALE空間 $X_\zeta$ 上のSO(n)/Sp(n/2)フレームドインスタントンのモジュライ空間は、U(n)インスタントンのモジュライ空間上での自己同型 $t \circ * \circ \mathcal{F}$ の固定点集合に同型である。
• 自己同型 $t \circ * \circ \mathcal{F}$ は、Uhlenbeck部分コンパクト化 $\mathfrak{M}_\zeta(\mathbf{v},\mathbf{w})$ 上でも適切に定義され、コンパクト化された設定へも同型が拡張される。
• 固定点集合はハイパーカイリィアン多様体の構造を引き継ぎ、代数幾何的設定では準射影的代数多様体となる。
• 本構成は、図の自己同型 $*$、反射関手 $\mathcal{F}$、および転置 $t$ の相乗的相互作用に依存しており、双一次形式の符号がゲージ群（SOまたはSp）を決定する。
• $D_\ell$ で $\ell$ が奇数の場合、自己同型 $*$ はディンキン図の二つの「尾」を入れ替える。この構造により、$\rho_i \cong \rho_i^*$ の正則的またはシンプレクティック性が決定される。
• [KN90] および [Nak03] に既存の道具を用いるだけでよく、新たな入力は不要である。結果は証明を伴わず提示されており、ハイパーカイリィアン幾何とクーヴィー多様体の既知の理論に依拠している。