[論文レビュー] Quiver varieties and symmetric pairs

Yiqiang Li|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 49被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティックおよびアンチシンプレクティックな対合の下でのナカジマ・クイバー多様体の固定点部分多様体として$σ$-クイバー多様体を導入し、表現論における対称ペアの幾何的枠組みを確立する。型Aの$σ$-クイバー多様体が古典的群の冪零スロドウスキー断片の部分スプリンガー解体を実現することを証明し、長方形的対称性を明らかにするとともに、クラスフット＝プロセスィの還元を精緻化する。

ABSTRACT

We study fixed-point loci of Nakajima varieties under symplectomorphisms and their anti-symplectic cousins, which are compositions of a diagram automorphism, a reflection functor and a transpose defined by certain bilinear forms. These subvarieties provide a natural home for geometric representation theory of symmetric pairs. In particular, the cohomology of a Steinberg-type variety of the symplectic fixed-point subvarieties is conjecturally related to the universal enveloping algebra of the subalgebra in a symmetric pair. The latter symplectic subvarieties are further used to construct geometrically an action of a twisted Yangian on torus equivariant cohomology of Nakajima varieties. In type $A$ case, these subvarieties provide a quiver model for partial Springer resolutions of nilpotent Slodowy slices of classical groups and associated symmetric spaces, which leads to a rectangular symmetry and a refinement of Kraft-Procesi row/column removal reductions.

研究の動機と目的

• ナカジマ・クイバー多様体におけるシンプレクティックおよびアンチシンプレクティックな対合の下での固定点部分多様体を用いて、対称ペア$(\mathfrak{g}, \mathfrak{k})$の幾何的表現論を構築すること。
• 対称ペアにおけるリー部分代数$\mathfrak{k}$の普遍包あらたな代数と、シンプレクティック固定点部分多様体内のスティーンベルク型多様体のコホロジーとの関係を確立すること。
• これらの部分多様体を介して、ナカジマ多様体のトーラス作用付きコホロジーへのねじれヤンギアンの幾何的作用を構成すること。
• 古典的群およびその対称空間における冪零スロドウスキー断片の部分スプリンガー解体のクイバー的モデルを、特に型Aにおいて提供すること。
• 対称空間の幾何に新たな対称性および還元（長方形的対称性および精緻化された列・行の削除）が現れるかを解明すること。

提案手法

• クイバーデータ上の双線形形式によって誘導される転置を伴う、図形自己同型、反射関手、およびその合成としてのシンプレクティック対合$\sigma$を定義する。
• ナカジマ・クイバー多様体$\mathfrak{P}_\zeta(\mathbf{v}, \mathbf{w})$内の固定点部分多様体$\mathfrak{P}_\zeta(\mathbf{v}, \mathbf{w})^{\sigma}$として$σ$-クイバー多様体を構成する。
• $\hat{\sigma}$-バージョンの対合を用いて$\hat{\sigma}$-クイバー多様体を定義し、$\widetilde{V}_i$上の非退化な双線形形式$\{-|\cdot\}$を介して、対称空間$\mathfrak{p}$内の冪零スロドウスキー断片と関係づける。
• 可換図式を用いて$σ$-クイバー多様体を、部分スプリンガー解体の$\hat{\sigma}$-固定部$\mathcal{S}^{\hat{\sigma}}_{\mu', \lambda}$に同定する。
• $\mathrm{G}^{\tau}_{\mathbf{v}}$-不変な正則関数の代数が、トレース関数$\mathrm{tr}_{h_1,\dots,h_s}(-)$および特性関数$\chi_{h_1,\dots,h_s}(-)$によって生成されることを証明する。
• コスタント＝セキギュチ＝ヴェルン対応を用いて、$σ$-クイバー多様体の幾何と実群における冪零軌道の関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックおよびアンチシンプレクティックな対合の下でのナカジマ・クイバー多様体の固定点部分多様体は、どのようにして対称ペアの幾何的モデルとして機能するか？
• RQ2 $σ$-クイバー多様体内のスティーンベルク型多様体のコホロジーと、$\mathfrak{k}$の普遍包あらたな代数との関係は何か？
• RQ3 $σ$-クイバー多様体は、古典的群およびその対称空間における冪零スロドウスキー断片の部分スプリンガー解体を実現できるか？
• RQ4 $σ$-クイバー多様体の幾何に、特に型Aにおいて新たな対称性や還元が現れるか？
• RQ5 $\hat{\sigma}$-固定部分多様体は、$\mathfrak{g}$の実形式における冪零軌道の幾何とどのように関係するか？

主な発見

• 型Aの$σ$-クイバー多様体は、古典的群の冪零スロドウスキー断片の部分スプリンガー解体と同型であり、ナカジマ＝マフィの定理を一般化する。
• 長方形的対称性が確立された：部分集合が長方形に収まる場合、関連する$σ$-クイバー多様体は同型である。これは以前の結果を精緻化する。
• 列・行の削除還元が、対称空間の設定において精緻化され、クラスフットとプロセスィの結果を拡張する。
• $\hat{\sigma}$-固定部分多様体$\widetilde{\mathcal{S}}^{\hat{\sigma}}_{\mu', \lambda}$は、$\pi^{\hat{\sigma}}$と$\hat{Π}$を含む可換図式を介して$σ$-クイバー多様体と同定される。
• $\mathrm{G}^{\tau}_{\mathbf{v}}$-不変関数の代数は、パスに沿ったトレースおよび特性関数によって生成される。
• コスタント＝セキギュチ対応を介して、$σ$-クイバー多様体の幾何は、実群における冪零スロドウスキー断片と微分同相的に対応する。