[論文レビュー] Integrability conditions between the first and second Cosserat deformation tensor in geometrically nonlinear micropolar models and existence of minimizers

Johannes Lankeit, Patrizio Neff+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2015

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、幾何学的非線形ミクロポーラー弾性理論において、第一および第二のコッサレ変形テンソルの間の統合条件を確立し、対称的ひずみテンソル $\bar{U}$ と曲率に類似したテンソル $\frak{K}$ の間の新しい公式を導出する。歪みと曲率の効果を分離する新しいエネルギー形式を提案し、弱い仮定（ゼロのコッサレカップルモジュラスおよび2次曲率エネルギーを含む）のもとで、ソボレフ空間内に最小化子の存在を証明する。

ABSTRACT

In this note we extend integrability conditions for the symmetric stretch tensor $U$ in the polar decomposition of the deformation gradient $ ablaφ=F=R\,U$ to the non-symmetric case. In doing so we recover integrability conditions for the first Cosserat deformation tensor. Let $F=\bar R\,\bar U$ with $\bar R:Ω\subset\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathrm{SO}(3)$ and $\bar U:Ω\subset\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathrm{GL}(3)$. Then $\mathfrak{K}:={\bar R}^T\mathrm{Grad}\,{\bar R}=\mathrm{Anti}\Big( \frac{1}{\mathrm{det} \bar U}\Big[\bar U(\mathrm{Curl} \bar U)^T-\frac{1}{2} \mathrm{tr}(\bar U(\mathrm{Curl} \bar U)^T) 1\!\!1 \Big]\bar U\Big),$ giving a connection between the first Cosserat deformation tensor $\bar U$ and the second Cosserat tensor ${\mathfrak{K}}$. (Here, Anti denotes an isomorphism between $\mathbb{R}^{3 imes 3}$ and $\mathfrak{So}(3):=\{\,\mathfrak{A}\in\mathbb{R}^{3 imes 3 imes 3}\,|\,\mathfrak{A}.u\in\mathfrak{so}(3)\;\forall u\in \mathbb{R}^3\}$.) The formula shows that it is not possible to prescribe $\bar U$ and $\mathfrak{K}$ independent from each other. We also propose a new energy formulation of geometrically nonlinear Cosserat models which completely separate the effects of nonsymmetric straining and curvature. For very weak constitutive assumptions (no direct boundary condition on rotations, zero Cosserat couple modulus, quadratic curvature energy) we show existence of minimizers in Sobolev-spaces.

研究の動機と目的

• 幾何学的非線形ミクロポーラーモデルにおける第一のコッサレ変形テンソル $\bar{U}$ と第二のコッサレテンソル $\frak{K}$ の間の統合条件を導出すること。
• 非対称的かつ正定値でない $\bar{U}$ に対する極座標分解 $F = \bar{R} \bar{U}$ のヴァル・レの公式を一般化し、非対称なひずみにおける適合性条件を回復すること。
• ミクロポーラー連続体における非対称的ひずみと曲率の効果を完全に分離する新しいエネルギー形式を提案すること。
• ゼロのコッサレカップルモジュラスおよび2次曲率エネルギーを含む弱い構成的仮定のもとで、幾何学的非線形コッサレモデルの最小化子の存在を確立すること。
• 境界条件および材料応答に関する最小限の仮定のもとで、ミクロポーラー弾性の厳密な数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 新しい接続公式を導出：$\frak{K} = \bar{R}^T \text{Grad}\bar{R} = \text{Anti}\bigg( \frac{[\bar{U}(\text{Curl}\bar{U})^T - \frac{1}{2}\text{tr}(\bar{U}(\text{Curl}\bar{U})^T)\boldsymbol{\bbm{1}}]\bar{U}}{\text{det}\bar{U}} \bigg)$、$\bar{U}$ と $\frak{K}$ の間の関係を明示する。
• 非対称的 $\bar{U}$ に一般化された極座標分解 $F = \bar{R} \bar{U}$ を用い、$\bar{R} \to \text{SO}(3)$ および $\bar{U} \to \text{GL}(3)$ とする。古典的結果を非対称 $\bar{U}$ へ拡張する。
• 体積に基づく恒等式およびベクトル解析の道具（$\text{vol}(u,v,w)$ 機能および余因子行列の性質など）を用いて適合性条件を導出する。
• 歪みエネルギーと曲率エネルギーを完全に分離する新しいエネルギー汎関数を導入し、非対称的ひずみと回転勾配の独立したモデル化を可能にする。
• ソボレフ空間内での凸性および弱下半連続性の議論を用いて、最小限の仮定のもとで最小化子の存在を証明する。
• ソボレフ空間の理論およびコンパクトネス法に依拠し、エネルギー汎関数の弱逐次下半連続性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何学的非線形ミクロポーラーモデルにおいて、第一のコッサレ変形テンソル $\bar{U}$ と第二のコッサレテンソル $\frak{K}$ の間に満たされる統合条件は何か？
• RQ2 古典的極座標分解公式を非対称的かつ正定値でない $\bar{U}$ に一般化することで、適合性条件を回復する方法は何か？
• RQ3 ミクロポーラー弾性における非対称的ひずみと曲率の寄与を完全に分離する新しいエネルギー形式を構築できるか？
• RQ4 どのような最小限の仮定のもとで、エネルギー汎関数がソボレフ空間内で最小化子を持つのか？
• RQ5 コッサレカップルモジュラスは存在理論において果たす役割は何か？ゼロであっても存在は保証できるか？

主な発見

• 曲率テンソル $\frak{K}$ とひずみテンソル $\bar{U}$ 及びそのカーリーの関係を明示する新しい公式が導出され、$\bar{U}$ と $\frak{K}$ は独立に指定できないことが示された。
• 適合性条件は対称的 $\bar{U}$ を超えて一般化され、ヴァル・レの公式が完全な非対称ケースへ拡張された。これは、非対称変形を示すミクロポーラー材料のモデル化に不可欠である。
• 歪みと曲率の寄与を完全に分離する新しいエネルギー汎関数が構築され、非対称的ひずみと回転勾配の独立したモデル化が可能になった。
• 境界条件に回転に関する直接的な制約がない、ゼロのコッサレカップルモジュラス、2次曲率エネルギーを含む非常に弱い仮定のもとで、ソボレフ空間内に最小化子の存在が証明された。
• 最小化子の存在結果は、弱下半連続性およびソボレフ空間内でのコンパクトネスに依拠しており、エネルギー汎関数は関連変数において凸である。
• 数学的枠組みは、構成的仮定を最小限に抑えた幾何学的非線形ミクロポーラー弾性の厳密な基盤を提供し、複雑なマイクロ構造材料への応用を可能にする。