[論文レビュー] A variant of the linear isotropic indeterminate couple stress model with symmetric local force-stress, symmetric nonlocal force-stress, symmetric couple-stresses and complete traction boundary conditions

Ionel‐Dumitrel Ghiba, Patrizio Neff+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2015

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 69被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、局所的および非局所的力・応力テンソル、カップル応力、完全なtraction境界条件を対称的に満たす線形等方的不確定なコッペル応力モデルの対称的変種を提案する。解の存在および一意性を証明し、場の式が変化しないまま対称応力で再定式化可能であることを示し、ひずみ場と回転場を結ぶ新しい積分可能条件を導入する。

ABSTRACT

In this paper we venture a new look at the linear isotropic indeterminate couple stress model in the general framework of second gradient elasticity and we propose a new alternative formulation which obeys Cauchy-Boltzmann's axiom of the symmetry of the force stress tensor. For this model we prove the existence of solutions for the equilibrium problem. Relations with other gradient elastic theories and the possibility to switch from a {4th order} (gradient elastic) problem to a 2nd order micromorphic model are also discussed with a view of obtaining symmetric force-stress tensors. It is shown that the indeterminate couple stress model can be written entirely with symmetric force-stress and symmetric couple-stress. The difference of the alternative models rests in specifying traction boundary conditions of either rotational type or strain type. If rotational type boundary conditions are used in the partial integration, the classical anti-symmetric nonlocal force stress tensor formulation is obtained. Otherwise, the difference in both formulations is only a divergence--free second order stress field such that the field equations are the same, but the traction boundary conditions are different. For these results we employ a novel integrability condition, connecting the infinitesimal continuum rotation and the infinitesimal continuum strain. Moreover, we provide the complete, consistent traction boundary conditions for both models.

研究の動機と目的

• 古典的不確定コッペル応力モデルにおける不整合を解消するため、対称的な力・応力テンソルおよびカップル応力テンソルを強制すること。
• 線形等方的不確定コッペル応力モデルに対して、対称応力を持つ数学的に適切に定式化された形を確立すること。
• traction境界条件が非局所的力・応力テンソルの構造に果たす役割を明確にすること。
• 新しい対称的定式化と古典的定式化との間で、発散がゼロの応力場を除き、等価であることを示すこと。
• 対称および反対称応力定式化の両方に対して一貫性があり、物理的に解釈可能なtraction境界条件を提供すること。

提案手法

• 変位の勾配 ∇u の対称部分とその回転 Curl(sym∇u) を用いてエネルギー汎関数を定式化し、対称的な力・応力テンソルを保証する。
• 無限小回転 (axl(skew∇u)) とひずみ場 (sym∇u) を結ぶ新しい積分可能条件を導入し、一貫性のある対称応力定義を可能にする。
• Curl(sym∇u) 定式化における完全な境界値問題を導出し、非局所的力・応力テンソルとカップル応力テンソルが対称であることを保証する。
• 仮想仕事の原理を適用して弱形式を導出し、Sobolev空間における解の存在および一意性を証明する。
• 新しい対称的定式化と古典的 ∇[axl(skew∇u)] 定式化を比較し、差異が発散がゼロの2階応力場およびtraction境界条件にのみ存在することを示す。
• 4階の勾配弾性モデルと2階のミクロモーフィックモデルとの間で等価性を示し、後者の境界条件が明確に定式化可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的不確定コッペル応力モデルを、場の式を変更せずに局所的および非局所的力・応力テンソルを対称的に保つ形に再定式化可能か？
• RQ2 2階勾配弾性における対称的力・応力定式化に対して、一貫性のあるtraction境界条件は何か？
• RQ3 異なる境界条件（回転型対比ひずみ型）は、不確定コッペル応力モデルにおける非局所的力・応力テンソルの構造にどのように影響するか？
• RQ4 ひずみと回転の間の積分可能条件が、対称的応力定式化を可能にする役割は何か？
• RQ5 4階の勾配弾性モデルを、対称応力と明確な境界条件を持つ2階のミクロモーフィックモデルで等価に表現可能か？

主な発見

• 提案されたモデルは、局所的および非局所的力・応力テンソル、カップル応力が対称的であり、Cauchy-Boltzmannの公理を満たす。
• 新しい対称的定式化と古典的反対称的定式化との間で、場の式は同一であり、差異はtraction境界条件にのみ存在する。
• 2つの定式化の差異は、発散がゼロの2階応力場に過ぎず、平衡方程式に影響しない。
• 変分法を用いたSobolev空間における解の存在および一意性が、新しい対称的定式化について厳密に証明された。
• モデルは2階のミクロモーフィックモデルに等価に再定式化可能であり、境界条件が明確に定式化され、対称的応力テンソルが自然に満たされる。
• 対称的 Curl(sym∇u) 定式化および古典的 ∇[axl(skew∇u)] 定式化の両方に対して、一貫性のあるtraction境界条件が完全に導出され、長年の曖昧さが解消された。