[論文レビュー] Integrability of Lie brackets

Marius Crainic, Rui Loja Fernandes|ArXiv.org|May 4, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、モノドロミー群と2次モノドロミー写像という2つの計算可能な障害を同定することにより、リー代数ダルのリー群ガロアに統合する長年の問題を解決する。完全な可積分性基準を確立し、リーの第三定理を一般化するとともに、ポワンソニアン幾何、葉層理論、幾何学的力学分野の既知の結果を統合する。

ABSTRACT

In this paper we present the solution to a longstanding problem of differential geometry: Lie's third theorem for Lie algebroids. We show that the integrability problem is controlled by two computable obstructions. As applications we derive, explain and improve the known integrability results, we establish integrability by local Lie groupoids, we clarify the smoothness of the Poisson sigma-model for Poisson manifolds, and we describe other geometrical applications.

研究の動機と目的

• すべてのリー代数ダルがリー群ガロアに積分可能かどうかという長年の問題を解決すること。
• リー代数ダルの可積分性における正確な障害を同定し、特徴づけること。
• リー代数ダルの文脈に一般化されたリーの第三定理を確立すること。
• ポワンソニアン幾何、葉層、幾何学的力学分野における既存の可積分性結果を統合・明確化すること。
• 任意のリー代数ダルに対して普遍的な積分対象（ワインスタイン群ガロア）の存在を確立すること。

提案手法

• リー代数ダル内の曲線（$A$-パス）を定義し、アーカー写像によって基底多様体上の曲線に引き上げること。
• $A$-パスのホモトピーを定義し、$A$-パスの同値類の空間に群ガロア構造を構成すること。
• ホモトピーによる商として得られるワインスタイン群ガロア $\mathcal{G}(A)$ を構成し、積分群ガロアの候補とする。
• 可積分性の障害としてモノドロミー群を導入し、$A$-パスがホモトピーに関して閉じないことを測定すること。
• 局所的フローの無限小作用を用いて2次モノドロミー写像を定義し、高次障害を捉えること。
• リー代数ダル上の微分作用素を用いて、局所的フローの作用を定義し、ファイバー上のホロノミーに類似した作用を実現すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数ダルがリー群ガロアに積分可能であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 可積分性問題を計算可能な障害に還元する方法は何か？
• RQ3 ワインスタイン群ガロアがリー代数ダルの普遍的積分対象としてどのように機能するか？
• RQ4 モノドロミー群と2次モノドロミー写像は、可積分性の失敗をどのように測定するか？
• RQ5 この枠組みは、リーの第三定理をどのように一般化し、ポワンソニアン理論および葉層理論における既知の可積分性結果を統合するか？

主な発見

• 本論文は完全な可積分性基準を確立した：リー代数ダルがリー群ガロアに積分可能であるための必要十分条件は、モノドロミー群が消えることである。
• 2次モノドロミー写像は、第一のモノドロミー群が自明であるときに限り消える計算可能な障害を提供する。
• モノドロミー障害が消えるとき、ワインスタイン群ガロア $\mathcal{G}(A)$ が $A$ を積分するリー群ガロアであることが示された。
• $A$-パスとホモトピーを用いたワインスタイン群ガロアの構成は、任意のリー代数ダルに対する標準的でファンクター的な積分を提供する。
• この枠組みは、ポワンソニアン幾何における既知の可積分性結果を説明・改善し、ポワンソニアン・シグマ・モデルの滑らかさを説明する。
• 局所的フローの一般化は、随伴作用を一般化し、$A^*$ 上のハミルトニアンフローを用いたリー代数ダル構造の幾何的実現を提供する。