[論文レビュー] Integrability of the problem of motion of a cylinder and a point vortex in a perfect fluid

А. В. Борисов, И. С. Мамаев|ArXiv.org|Feb 15, 2005

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 1被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、非線形ポアソン構造を構築し、2つの保存量（エネルギーに類似した積分と一般化された運動量積分）を同定することにより、理想非圧縮性流体中における剛体円形シリンダーと1つの点渦の平面運動の可積分性を確立する。対称性削減を用いることで、系は1自由度に還元可能であり、1渦の場合の完全可積分性が確認されるが、一般のN渦系については一般的に可積分ではない。

ABSTRACT

Motion of a cylinder dynamically interacting with n point vortices in a perfect fluid is considered. A nonliniear Poisson structure and two integrals of motion are found. The equations of motion a priori are not Hamiltonian. For n=1, the problem is integrable.

研究の動機と目的

• 理想流体中における剛体シリンダーとN個の点渦の運動に対して、非線形ポアソン構造が存在することを確立すること。
• 系が標準的なハミルトニアン構造でないにもかかわらず、2つの保存量（第一積分）を同定すること。
• N=1（1つの渦）の場合に系が可積分であることを、対称性削減および1自由度への明示的還元を用いて証明すること。
• 複数の渦を含む系やキルヒホッフ渦を含む他の物体へと可積分性の結果を一般化する可能性を検討すること。
• 既知の可積分問題（例えば、ブヤーケンス問題）とこの系を比較し、多体渦力学における未解決問題を特定すること。

提案手法

• ポテンシャル流れ理論およびコンformal写像技術を用いて、剛体シリンダーとN個の点渦の運動方程式を導出する。
• 速度成分、渦の位置、循環を含む位相空間における非線形で非退化なポアソン括弧構造を構築する。
• 系の不変性から導かれる保存エネルギーに類似した積分H（式1）と一般化された運動量積分F（式4）を同定する。
• 運動量積分Fが生成する対称性の場を用いた対称性削減を適用し、1自由度の還元系を得る。
• 新しい還元座標（p₁, p₂, r₁, r₂）への変数変換を明示的に行い、還元された力学を保存量と幾何的制約で記述する。
• ダーブォーの定理を用いて正準座標の存在を確認するが、可積分性の証明には明示的形は不要である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系が標準的な意味でハミルトニアンではないにもかかわらず、剛体シリンダーとN個の点渦の運動に対して非線形ポアソン構造を構築できるか？
• RQ2 1つの渦（N=1）を含む系は可積分であるか？ もしそうなら、その可積分性を支える保存量は何か？
• RQ3 一般化された運動量積分Fは、系の自由度を1にまで削減する役割を果たすか？
• RQ4 N > 1の渦に対して可積分性は維持されるか、それとも追加の結合項により系は非可積分になるか？
• RQ5 ポアソン構造および第一積分を、複数の剛体体やキルヒホッフ渦を含む系へ一般化できるか？

主な発見

• 剛体シリンダーと1つの点渦の系は、2つの独立な第一積分（エネルギーに類似したHと一般化された運動量F）を有するため、完全可積分である。
• ポアソン構造は非線形で非退化的であり、速度成分と渦の座標を含む6つの非ゼロのポアソン括弧で明示的に与えられる。
• エネルギー積分H（式1）は、非ラグランジュ的起源を持つにもかかわらず保存される。これは流体および剛体力学の保存的性質に起因する。
• 運動量積分F（式4）は回転対称性を生成し、ルース型の削減を用いて1自由度系に還元可能である。
• N > 1の場合、必要な可換な積分（Fを除くN−1個）が一般には存在しないため、系は一般に非可積分である。
• 還元系のポアソン構造のランクは2であり、1自由度であることを確認する。力学は制約p₁² + p₂² − r₁r₂ = 0と積分Fを用いて解析可能である。