[論文レビュー] Integrability of weak distributions on Banach manifolds

Fernand Pelletier|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、バナッハ多様体上の弱分布（非閉、バナッハ構造を持つ接バンドルの部分空間）の可積分性のための条件を確立する。これは、補完可能でない、特異的分布へのフロベニウス型定理の一般化である。局所的自明性またはリー不変性の条件下で、このような分布は弱積分部分多様体を有し、バナッハリー代数的群およびポアソン多様体への応用が得られる。

ABSTRACT

This paper concerns the problem of integrability of non closed distributions on Banach manifolds. We introduce the notion of weak distribution and we look for conditions under which these distributions admit weak integral submanifolds. We give some applications to Banach Lie algebroid and Banach Lie-Poisson manifold. The main results of this paper generalize the works presented in [ChSt], [Nu] and [Gl].

研究の動機と目的

• バナッハ多様体上の非閉で弱構造を持つ分布の可積分性問題に取り組む。ここで分布のファイバーはバナッハ部分空間ではあるが、接空間において必ずしも閉じていない。
• 古典的フロベニウスおよびリー不変性定理を、補完可能または閉じていないことを要求しない弱分布の設定に一般化する。
• 弱分布が弱積分部分多様体を有するための条件を確立し、[ChSt]、[Nu]、[Gl]の結果をより広い特異的分布のクラスにまで拡張する。
• 得られた結果をバナッハリー代数的群およびバナッハポアソン多様体に適用し、核の補完性の下で特徴的分布の可積分性を示す。
• 局所的自明性およびリー不変性を主要な構造的仮定として導入することで、無限次元幾何における可積分性に関する先行研究を統一・拡張する。

提案手法

• 弱分布の概念を導入する：各点 $x$ において、$\mathcal{D}_x \subset T_xM$ がバナッハ部分空間であり、包含写像 $\tilde{\mathcal{D}}_x \to T_xM$ が連続となるようなバナッハノルムを持つ族。
• 弱部分多様体を、$f: N \to M$ が滑らかで、$T_xf: T_xN \to T_{f(x)}M$ が単射かつ連続であるような滑らかな埋め込みとして定義する。これにより、非閉な像構造を許容する。
• 可積分性と局所的下部自明性の下での不変性の同値性を示す（定理1）。これは、弱分布へのフロベニウス定理の一般化である。
• リー不変性条件を適用する（定理2）。[ChSt]の結果を弱分布にまで拡張し、フロー不変性によって可積分性を保証する。
• 上部自明性および局所的可換性（定理4）を導入し、生成集合がリー括弧条件（LB）を満たす場合に可積分性が成り立つことを証明する。
• ポアソンアンカー $\Psi: T^*M \to TM$ を用いて特徴的分布を定義し、$\ker \Psi$ が各ファイバーで補完可能である場合に、関連する特徴的分布が可積分であることを証明する（定理6）。これにより、弱シンプレクティック葉が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ多様体上の弱分布が、局所的にその分布に接する弱部分多様体によってfoliateされる（可積分である）ための条件は何か？
• RQ2 無限次元設定における非閉で補完されない分布に対して、古典的フロベニウス定理をどのように一般化できるか？
• RQ3 リー不変性または局所的可換性が、弱分布の可積分性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 核が補完可能でないとしても、バナッハポアソン多様体における特徴的分布の可積分性を確立できるか？
• RQ5 弱部分多様体および弱シンプレクティック構造は、バナッハリー代数的群およびポアソン構造の文脈で、どのように自然に生じるか？

主な発見

• 定理1は、弱分布が局所的下部自明性を満たす場合に、その分布が任意の接する局所的ベクトル場のフローに関して不変であるときかつそのときに限り、可積分であることを確立する。
• 定理2は、[ChSt]の結果を一般化し、ファイバーが補完可能でなくても、リー不変性が弱分布の可積分性を示すことを示している。
• 定理4は、上部生成集合が局所的可換性を満たし、リー括弧条件（LB）が成り立つ場合に可積分性が成り立つことを証明し、[Gl]の結果を弱分布にまで拡張する。
• 定理6は、ポアソンアンカー $\Psi: T^*M \to TM$ の核が各ファイバーで補完可能である場合、関連する特徴的分布は可積分であり、各最大葉には自然な弱シンプレクティック形式が誘導されることを示している。
• バナッハポアソン多様体における特徴的分布は、ポアソンアンカーの核が補完可能であるときかつそのときに限り可積分である。これは、有限次元ポアソン可積分性の一般化である。
• バナッハポアソン多様体における特徴的分布の各最大積分多様体は、弱シンプレクティック構造 $\omega_{\mathcal{L}}$ を持ち、$(\omega_{\mathcal{L}})_x = \tilde{\omega}_x$ が $T_x\mathcal{L}$ 上で成り立つ。