[論文レビュー] Integrable and proper actions on C*-algebras, and square-integrable representations of groups

Marc A. Rieffel|ArXiv.org|Sep 17, 1998

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクト群がC*-代数に作用するという概念を導入し、局所コンパクト空間上の古典的定義を一般化する。コンパクト作用素の代数への作用—ユニタリ群表現から生じる—に対して、この枠組みにより、平方可積分表現の自然な特徴付けが得られ、C*-代数が可換である場合には、一般化された固定点代数が交叉積のイデアルと強くモラタ同値であることが示される。

ABSTRACT

We propose a definition of what should be meant by a {\it proper} action of a locally compact group on a C*-algebra. We show that when the C*-algebra is commutative this definition exactly captures the usual notion of a proper action on a locally compact space. We then discuss how one might define a {\it generalized fixed-point algebra}. The goal is to show that the generalized fixed-point algebra is strongly Morita equivalent to an ideal in the crossed product algebra, as happens in the commutative case. We show that one candidate gives the desired algebra when the C*-algebra is commutative. But very recently Exel has shown that this candidate is too big in general. Finally, we consider in detail the application of these ideas to actions of a locally compact group on the algebra of compact operators (necessarily coming from unitary representations), and show that this gives an attractive view of the subject of square-integrable representations.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト空間上の古典的定義が可換な代数の場合に一致するように、位相空間からC*-代数への群作用の適切な一般化を達成すること。
• このような作用に対して一般化された固定点代数を定義し、交叉積の枠組みの中でその構造的性質を調査すること。
• 可積分作用と適切な作用の関係、および平方可積分群表現理論との関連を探索すること。
• 提案された一般化された固定点代数の構成が、交叉積代数のイデアルと強くモラタ同値であるかどうかを特定すること。
• ユニタリ群表現から生じるコンパクト作用素の代数への作用という特別なケースを、理論の具象的実装として検討すること。

提案手法

• 双対作用が不変であるような、交叉積内に正の元が存在することを用いて、C*-代数への適切な作用の定義を提示する。
• 誘導表現および交叉積の理論を用いて、一般化された固定点代数の構造を分析する。
• 局所コンパクト群の双対性理論を用いて、固定点構成と群の表現理論を関連付ける。
• コンパクト作用素の代数への作用に平方可積分表現の概念を適用し、それがユニタリ表現から自然に生じることを示す。
• 可換な場合に、提案された一般化された固定点代数の構成が、交叉積のイデアルと強くモラタ同値である代数を生じることを示す。
• エクセルの後続の研究に基づく修正を組み込み、元の一般化された固定点代数の候補が一般には大きすぎるが、可換な状況では依然として有効であることを認めている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクト空間上の群作用の古典的定義をC*-代数の文脈に適切に一般化する方法は何か？
• RQ2 このような作用に対して、固定点代数を定義できるか。その固定点代数が、交叉積代数のイデアルと強くモラタ同値であるか？
• RQ3 C*-代数上の可積分作用と適切な作用は、平方可積分群表現理論とどのように関連するか？
• RQ4 コンパクト作用素の代数は、群作用を通じて平方可積分表現を実現する上で果たす役割は何か？
• RQ5 エクセルの後続の発見を踏まえると、非可換な状況における提案された固定点構成はどのように振る舞うか？

主な発見

• 提案されたC*-代数への適切な作用の定義は、代数が可換である場合に古典的定義に還元される。
• 可換C*-代数の場合、一般化された固定点代数の構成により、交叉積代数のイデアルと強くモラタ同値である代数が得られる。
• ユニタリ表現から生じる局所コンパクト群のコンパクト作用素の代数への作用は、平方可積分表現を研究する自然な設定を提供する。
• この枠組みにより、適切な作用と交叉積の観点から、平方可積分表現の統一的視点が提供される。
• エクセルの後続の結果により、元の一般化された固定点代数の候補が一般には大きすぎることが示されたが、可換な状況では依然として有効である。
• この論文は、非可換幾何学、表現論、作用素代数の間の基礎的関係を、可積分および適切な作用の概念を通じて確立する。