[論文レビュー] Regular C*-valued weights

Johan Kustermans|ArXiv.org|Mar 13, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、C*-代数的量子群の文脈において、von Neumann代数上の作用素値重みのC*-代数的一般化としてC*-値重みを導入し、一方のC*-代数からもう一方のC*-代数への非有界で完全正値写像を定義する枠組みを提供する。KSGNS型の構成を確立し、下半連続性と正則性を定義し、乗積代数への拡張手順を用いた新規な方法により、正則なC*-値重みのテンソル積を構成する。

ABSTRACT

We introduce the notion of a C*-valued weight between two C*-algebras as a generalization of an ordinary weight on a C*-algebra and as a C*-version of operator valued weights on von Neumann algebras. Also, some form of lower semi-continuity will be discussed together with an extension to the multiplier algebra. A strong but useful condition for C*-valued weights, the so-called regularity, is introduced. At the same time, we propose a construction procedure for such regular C*-valued weights. This construction procedure will be used to define the tensor product of regular C*-valued weights.

研究の動機と目的

• von Neumann代数上の作用素値重みをC*-代数へ一般化し、量子群不変性の純粋なC*-代数的取り扱いを可能にする。
• C*-値重みを、一方のC*-代数からもう一方のC*-代数の乗積代数への非有界で完全正値線形写像として定義し、それらを研究する。
• C*-値重みの正則性の概念を導入・分析し、適切に定義された拡張およびテンソル積構成を保証する。
• 完全正値写像の標準的KSGNS構成に類似した、C*-値重みのためのKSGNS型構成を開発する。
• 値を付随する元に拡張することで、量子群の文脈における非有界なモジュラー作用素を自然に取り入れる理論を構築する。

提案手法

• C*-値重みを、C*-代数Aから別のC*-代数Bの乗積代数M(B)への、正則な部分集合を有する完全正値で定義域が稠密な線形写像として定義する。
• ヒルベルトC*-加群を用いたKSGNS構成を、このような重みに対して導入し、重みをターゲットC*-代数上のモジュールへの表現に埋め込む。
• 近似単位でインデックス付けられた完全正値写像の族を用いて下半連続性を定義し、厳密収束と整合性を保証する。
• 重みが乗積代数に連続的に拡張され、テンソル積においても良好に振る舞うことを保証する強力な条件として正則性を導入する。
• 近似単位と厳密連続性に依存する手順を用いて正則なC*-値重みを構成し、テンソル積の定義を可能にする。
• ヒルベルト加群上の有界作用素の収束を用いて、特定の非有界写像が有界作用素として表現可能であることを証明し、KSGNS表現のための鍵となる技術的結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素値重みをvon Neumann代数からC*-代数の文脈に一般化するには、正規拡張を必要としない方法は何か？
• RQ2 C*-値重みがターゲットC*-代数の乗積代数に連続的に拡張されるための条件は何か？
• RQ3 正則性がC*-値重みのテンソル積の存在と一意性を保証する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ4 KSGNS構成は、非有界で完全正値なC*-値重みにどのように適応可能か？
• RQ5 付随する元（例：モジュラー作用素）は、C*-値重みの文脈において、量子群の設定でどのように自然に現れるか？

主な発見

• C*-値重みは、C*-代数Aから別のC*-代数Bの乗積代数M(B)への、定義域が稠密で完全正値な線形写像として定義される。
• C*-値重みのためのKSGNS構成が確立され、重みがB上のヒルベルトC*-加群への表現に埋め込まれる。
• 正則性は、重みが乗積代数に拡張され、テンソル積において良好に振る舞うことを保証する重要な条件として導入される。
• 厳密連続性と近似単位に依存する手順を用いて、正則なC*-値重みの構成手順が提供される。
• 構成手順を用いて、2つの正則なC*-値重みのテンソル積が定義され、C*-代数的量子群における(ι⊗φ)(Δ(a))の定義が可能になる。
• 本稿では、ヒルベルトC*-加群への非有界B線形写像が有界作用素として表現可能であることが証明されており、KSGNS構成のための重要な技術的結果である。