[論文レビュー] Integrable Nonautonomous Nonlinear Schrodinger Equations

Metin Gürses|ArXiv.org|Apr 19, 2007

Nonlinear Photonic Systems被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する係数を有する可積分な非自己同型非線形シュレーディンガー方程式（NLSE）が、類似変換を用いて標準的な自己同型NLSEに変換可能であることを示している。主な結果は、時間に依存する分散、非線形性、調和ポテンシャル項の間の関係を示す条件が、元の定式化における可積分性条件と同値であるということであり、非自己同型NLSEのソリトン解が、自己同型NLSEのよく知られたZakharov-Shabatソリトン解から直接得られることを示している。

ABSTRACT

We show that a recently given nonautonomous nonlinear Schrodinger equation (NLSE) can be transformed into the autonomous NLSE.

研究の動機と目的

• 時間変動係数を有する可積分な非自己同型NLSEを標準的な自己同型NLSEに写像する変換法を確立すること。
• 非自己同型NLSEにおけるソリトン解の起源を、標準的な自己同型NLSEのソリトン解と関連づけること。
• 非線形性、分散、調和ポテンシャルの時間に依存する係数について、可積分性を保証する必要十分条件を導出すること。
• 元の非自己同型NLSE定式化における可積分性条件が、変換プロセスから生じる整合性条件と同値であることを示すこと。

提案手法

• 非自己同型NLSEを標準的な自己同型NLSEに写像するために、類似変換 $ Q = \Lambda q(X,T) $ を適用する。ここで $ X = F(x,t) $、$ T = G(t) $、$ \Lambda = \Lambda(x,t) $ である。
• 変換がNLSEの構造を保つために、$ \Lambda $、$ F $、$ G $ が満たすべき3つの方程式（5）-(7）の系を導出する。
• 特定の形の $ \Lambda $ を仮定してこの系を解く。その際、$ r(t) $ に依存する二次位相および振幅変調を含む。$ r(t) $ は2階常微分方程式に従う。
• 変換制約を満たすために、補助関数 $ \alpha_1(t) $、$ \alpha_2(t) $、および $ F_1(t) $ を導入し、空間的および時間的写像を表現する。
• 整合性から導かれる $ r(t) $ の条件が、元の論文における既知の可積分性条件（2）と一致することを確認する。
• 標準的な自己同型NLSEのソリトン解（Zakharov-Shabat）を用い、逆変換を適用することで、非自己同型ケースの明示的ソリトン解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する分散、非線形性、調和ポテンシャルを有する非自己同型NLSEは、標準的な自己同型NLSEに変換可能か？
• RQ2 非自己同型NLSEの可積分性を保証する時間に依存する係数の正確な条件は何か？
• RQ3 非自己同型NLSEのソリトン解は、標準的な自己同型NLSEのソリトン解とどのように関係しているか？
• RQ4 元の定式化における可積分性条件（2）は、変換法から生じる整合性条件と同値か？
• RQ5 非自己同型NLSEのソリトン解は、変換を介して自己同型NLSEの解から直接導出可能か？

主な発見

• 時間に依存する係数が導出された整合性条件を満たす限り、非自己同型NLSE（1）は変換 $ Q = \Lambda q(X,T) $ の下で標準的な自己同型NLSE（4）と同値である。
• 非自己同型NLSEのソリトン解は、自己同型NLSEのZakharov-Shabatソリトン解に逆変換を適用することで直接得られる。
• 元の定式化における可積分性条件（2）は、変換から導出された整合性条件（10）と同値であることが示され、その必要十分性が確認された。
• 解の振幅および位相は $ \Lambda = r(t) e^{i\theta} $ によって変調され、ここで $ r(t)^2 = 2r_0^4 R(t)/D(t) $ であり、解の包絡線が時間に依存する非線形性および分散と関連づけられる。
• 時間的および空間的写像は、$ G(t) = 2r_0^4 \int R^2(t)/D(t) \, dt $ および $ F(x,t) = r^2(t)/r_0^2 \, x + F_1(t) $ として明示的に構成され、$ F_1(t) $ は $ \alpha_1(t) R(t) $ の積分によって定まる。
• 導出されたソリトン解は、Serkinら[2]が報告した解と完全に一致し、変換法が解の生成に対して有効であることを確認した。