[論文レビュー] Integral action for setpoint regulation control of a reaction-diffusion equation in the presence of a state delay

Hugo Lhachemi, Ammar Malik+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2021

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、状態遅れを伴う1次元反応拡散PDEに対して境界PI制御則を提案する。スペクトル還元と有限次元PI設計を用いて、右Dirichletトレースの指数的安定性と正確な設定値追従を達成する。この手法は、切り捨てられたモデルにおける極のシフトと入力-状態安定性（ISS）解析により、境界摂動および遅れ不一致に対してロバストであることを保証する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the regulation control of a one-dimensional reaction-diffusion equation in the presence of a state-delay in the reaction term. The objective is to achieve the PI regulation of the right Dirichlet trace with a command selected as the left Dirichlet trace. The control design strategy consists of the design of a PI controller on a finite dimensional truncated model obtained by spectral reduction. By an adequate selection of the number of modes of the original infinite-dimensional system, we show that the proposed control design procedure achieves both the exponential stabilization of the original infinite-dimensional system as well as the setpoint regulation of the right Dirichlet trace.

研究の動機と目的

• 実用的システムで一般的に見られる状態遅れを伴うPDEに対するPI制御戦略の不足に応える。
• 反応項に状態遅れを伴う反応拡散方程式の右Dirichletトレースを、所望の設定値に制御する。
• 無限次元閉ループ系の指数的安定性を確保するとともに、正確な設定値追従を達成する。
• 境界摂動および遅れ不一致に対する制御設計のロバスト性を確立する。
• 遅れ付き反応拡散PDEの既存の安定化結果を、制御の積分作用を含む追従制御に拡張する。

提案手法

• 元の無限次元PDEに状態遅れを伴うものを、スペクトル還元を適用して有限次元の切り捨てられたモデルに導出する。
• 閉ループダイナミクスのHurwitz安定性を保証するために、切り捨てられたモデル上で極のシフトを用いたPIコントローラーを設計する。
• 残りの無限次元ダイナミクスを安定化するために、スペクトル切断におけるモード数を選択する。
• 右Dirichletトレースの設定値追従を達成するために、切り捨てられたモデルに積分素子を追加する。
• リャプノフ＝クラソフスキー汎関数を用いて安定性を解析し、遅れおよび摂動を扱うために小さなゲインの議論を適用する。
• 元のPDEおよび同次PDEの表現を分析することで、境界摂動に関して指数的入力-状態安定性（ISS）を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態遅れを伴う反応拡散PDEにPI制御を効果的に適用し、設定値追従を達成できるか？
• RQ2 スペクトル還元と有限次元制御設計をどのように組み合わせて、状態遅れを伴う無限次元PDEを安定化できるか？
• RQ3 切り捨てられたモデルにおけるモード数にどのような条件を課すと、全システムの指数的安定性が保証されるか？
• RQ4 積分作用は遅れが存在する中でも、右Dirichletトレースの正確な設定値追従をどのように可能にするか？
• RQ5 遅れ不一致および境界摂動に対して、制御設計のロバスト性はどの程度か？

主な発見

• 提案されたPI制御設計により、状態遅れを伴う元の無限次元反応拡散PDEが指数的に安定化された。
• 数値シミュレーションにより、右Dirichletトレースの設定値追従が正確に達成されたことが確認された。
• 閉ループ系は境界摂動に関して指数的入力-状態安定性（ISS）を示し、ロバスト性が保証された。
• 遅れ不一致は性能の滑らかな劣化を引き起こすが、名目値の4倍までの遅れにおいて不安定性は観測されなかった。
• 持続的境界摂動（例：p(t) = 25）を効果的に抑制し、制御精度を維持した。
• スペクトル切断にN=1モードを用いた場合、シミュレーションによる検証を通じて安定性と追従性が保証された（a=0.2, b=2, c=1, θ=π/3）。