[論文レビュー] Integral equations, fractional calculus and shift operator

D. Babusci, G. Dattoli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分数階微分と一般化されたシフト作用素（特に $x\partial_x$-に基づく拡大作用素）を用いた新しい作用的記法フレームワークを構築し、一般化されたランプ＝バーテン方程式やベッセル型方程式を含む積分方程式のクラスを解く。主な貢献は、$x\partial_x$ の分数階累乗を用いて解を表現する統一的な手法の確立であり、特殊関数（ベッセル＝ライト関数や一般化超幾何級数形式）と積分表現を通じて解析的解が得られることである。

ABSTRACT

We present an extension of a previously developed method employing the formalism of the fractional derivatives to solve new classes of integral equations. This method uses different forms of integral operators that generalizes the exponential shift operator.

研究の動機と目的

• 古典的ランプ＝バーテン方程式を超える新しい積分方程式クラスに、分数階微分とシフト作用素形式を応用すること。
• 非整数階の作用素 $x\partial_x$ の累乗を含む積分方程式を体系的に解くための手法を開発すること。
• 非線形スケーリングカーネルを有する積分方程式を解くために、指数関数的シフト作用素を拡大作用素および一般化された関数的作用素に一般化すること。
• $\Gamma(x\partial_x + 1)$ 及びその逆作用素の作用的恒等式を確立し、指数関数的およびべき乗則的カーネルを有する方程式の解法を可能にすること。
• 非整数階の $x\partial_x$ の累乗に対するスターリング数恒等式の分数階拡張を仮説し、数値的妥当性を検証すること。

提案手法

• ラプラス変換の恒等式 $a^{-\nu} = \frac{1}{\Gamma(\nu)}\int_0^\infty e^{-sa} s^{\nu-1} ds$ を用いて、$(x\partial_x)^{-\nu}$ を指数的拡大作用素 $\hat{E}(-s) = \exp(-s x\partial_x)$ の積分表現として表現する。
• 拡大作用素 $\hat{E}(\lambda) = \exp(\lambda x\partial_x)$ は $\hat{E}(\lambda)g(x) = g(e^\lambda x)$ を満たし、積分方程式を作用的形に変換可能である。
• ガウス型または指数型カーネルを有する方程式に対しては、$\int_0^\infty e^{-y^2} \hat{E}(-y^2) dy$ のような積分を評価し、$\sqrt{x\partial_x}$ のような分数階作用素を導出する。
• $\int_0^\infty dy\, u(e^{-y^2}x) = f(x)$ の解は $u(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sqrt{x\partial_x} f(x)$ と得られ、これにより $(x\partial_x)^{-1/2}$ を通じて積分表現が得られる。
• 非線形スケーリングを有する方程式を解くために、一般化されたシフト作用素の恒等式 $\exp(\lambda q(x)\partial_x)g(x) = g\left[F^{-1}(\lambda + F(x))\right]$ を用いる。但し $F(x) = \int^x d\xi / q(\xi)$ である。
• 積分 $\int_0^\infty dt\, f(x g(t))$ の形をとる方程式に対し、$\hat{O}(x\partial_x)f(x)$ に再定式化し、$\hat{O}(\mu) = \int_0^\infty [g(t)]^\mu dt$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階微分と一般化されたシフト作用素を用いて、非整数階の $x\partial_x$ の累乗を含む積分方程式をどのように解くことができるか？
• RQ2 カーネルが $e^{-y^2}$、$e^{-y}$、または $(1+y^2)^{-\nu}$ であるような積分方程式の解の作用的形は何か？
• RQ3 非線形スケーリング変換 $F^{-1}(-y^2 + F(x))$ を有する方程式に対しても、一般化されたシフト作用素形式を適用可能か？
• RQ4 指数関数的カーネルを有する方程式を解くために、$\Gamma(x\partial_x + 1)$ の逆作用素をどのように作用的に表現できるか？
• RQ5 $x\partial_x$ の非整数階累乗 $(x\partial_x)^\nu$（$0 < \nu < 1$）の構造は何か？また、一般化されたスターリング数を用いて $x^k \partial_x^k$ の線形結合に展開可能か？

主な発見

• 修正されたランプ＝バーテン方程式 $\int_0^\infty dy\, u(e^{-y^2}x) = f(x)$ の解は $u(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sqrt{x\partial_x} f(x)$ であり、$u(x) = \frac{2}{\pi} \int_0^x \frac{\partial_\xi f(\xi)}{\sqrt{\ln(x/\xi)}} d\xi$ に簡略化される。
• $\int_0^\infty dy\, e^{-y} u(y x) = f(x)$ の場合、解は $u(x) = \left\{ \Gamma(x\partial_x + 1) \right\}^{-1} f(x)$ と得られ、$f(x) = e^{-x}$ のとき $u(x) = J_0(2\sqrt{x})$ となり、0次ベッセル関数が得られる。
• $f(x) = e^{-x}$ でカーネルが $u(y^m x)$ のとき、解は $u(x) = W_0(x|m) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k! (m k)!} x^k$ となり、0次ベッセル＝ライト関数となる。
• $\int_0^\infty dy\, u(\sqrt{x^2 + 2y^2}) = f(x)$ の解は $u(x) = -\frac{2}{\sqrt{\pi}} \sqrt{ -\frac{1}{x}\partial_x } f(x)$ であり、恒等式 $\exp(\lambda \frac{1}{x}\partial_x) g(x) = g(\sqrt{x^2 + 2\lambda})$ を用いて導出される。
• $\int_0^\infty dt\, \frac{1}{(1+t^2)^{\nu x\partial_x}} \sin x$ の解は $F(x;\nu) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \frac{\Gamma((2n+1)\nu - 1/2)}{\Gamma((2n+1)\nu)} x^{2n+1}$ となり、数値的に確認されている。
• 本稿では、$0 < \nu < 1$ に対して $(x\partial_x)^\nu = \sum_{k=0}^\infty S(k,\nu) x^k \partial_x^k$ が成り立つと仮説し、数値的証拠によりその恒等式の妥当性を支持しているが、厳密な証明は未解決のままである。