[論文レビュー] Integral forms of Kac-Moody groups and Eisenstein series in low dimensional supergravity theories

Ling Bao, Lisa Carbone|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 59被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ガーランドのアフィン的構成を一般化し、Chevalley型の手法を用いて、ℤ 上の Kac–Moody 群の積分的形の計算可能な構成を発展させる。有限次元群から任意の Kac–Moody 群へと Eisenstein 級数を一般化し、低次元の超重力理論および M 理論における量子補正を符号化するための枠組みを提供する。特に E₁₀ および E₁₁ 対称性において有効である。

ABSTRACT

Kac-Moody groups $G$ over $\mathbb{R}$ have been conjectured to occur as symmetry groups of supergravities in dimensions less than 3, and their integer forms $G(\mathbb{Z})$ are conjecturally U-duality groups. Mathematical descriptions of $G(\mathbb{Z})$, due to Tits, are functorial and not amenable to computation or applications. We construct Kac-Moody groups over $\mathbb{R}$ and $\mathbb{Z}$ using an analog of Chevalley's constructions in finite dimensions and Garland's constructions in the affine case. We extend a construction of Eisenstein series on finite dimensional semisimple algebraic groups using representation theory, which appeared in the context of superstring theory, to general Kac-Moody groups. This coincides with a generalization of Garland's Eisenstein series on affine Kac-Moody groups to general Kac-Moody groups and includes Eisenstein series on $E_{10}$ and $E_{11}$. For finite dimensional groups, Eisenstein series encode the quantum corrections in string theory and supergravity theories. Their Kac-Moody analogs will likely also play an important part in string theory, though their roles are not yet understood.

研究の動機と目的

• ティツの群函手の扱いにくさを克服し、ℝ および ℤ 上の Kac–Moody 群の計算可能で表現論的構成を提供すること。
• 有限次元単純群の Eisenstein 級数の理論を一般 Kac–Moody 群、特に E₁₀ や E₁₁ を含む双曲的およびローレンツ型にまで拡張すること。
• M 理論および超重力理論における高次導関数補正を符号化する可能性がある、Kac–Moody 群上の自動形式の数学的枠組みを確立すること。
• 特に次元 ≤2 において、G(ℤ) が低次元超重力理論における予想される U-duality 群として果たす役割を明確にすること。
• 表現論的 Eisenstein 級数とストリング理論および M 理論における物理的量子補正（特に Eₙ 対称性において）を結びつけること。

提案手法

• 最高重層表現 V とその ℤ-格子 V_ℤ を用いて、普遍包あらため代数 U(𝔤) の ℤ-形を介し、SL₂(ℤ) の Chevalley の構成を Kac–Moody 代数へ適応する。
• 最高重層表現 V を用いて G(ℝ) および G(ℤ) を GL(V) の部分群として構成し、ガーランドのアフィン的構成を一般化する。
• Iwasawa 分解 G(ℝ) = K(G) ⋅ A ⋅ N を用いて、商空間 K(G)\G(ℝ)/G(ℤ) を分析し、自動形式にとって重要な役割を果たす。
• ラングランズの手法および表現論的手法を用い、パラボリック部分群からの誘導表現によって、Kac–Moody 群上の Eisenstein 級数を定義する。
• 基本表現およびテンソル積からの Eisenstein 級数の構成を拡張し、ラングランズの枠組みと整合性を保つ。
• Eisenstein 級数の定数項およびスペクトル的性質を分析し、有限次元の場合と同様にラプラシアン固有値方程式を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kac–Moody 群の積分的形 G(ℤ) は、計算および物理的応用に適した方法でどのように構成可能か？
• RQ2 有限次元群における Eisenstein 級数の理論は、E₁₀ や E₁₁ を含む非アフィン Kac–Moody 群へ一般化可能か？
• RQ3 これらの一般化された Eisenstein 級数は、低次元超重力理論および M 理論における量子補正を符号化する役割を果たすか？
• RQ4 Kac–Moody 群上の Eisenstein 級数のスペクトル的性質は、有限次元の場合とどのように関係するか、特にラプラシアン固有値方程式の観点から。
• RQ5 Eₙ(ℤ) の G(ℤ) 上の自動形式は、D ≤ 11 − n 次元における最大超重力理論の U-duality 対称性をどの程度正確に捉えられるか？

主な発見

• 普遍包あらため代数の ℤ-形と最高重層表現を用いた、Kac–Moody 群 G(ℝ) および G(ℤ) の計算可能な新しい構成が達成された。
• ガーランドのアフィン的 Eisenstein 級数の構成が、非アフィン Kac–Moody 群、特に E₁₀ および E₁₁ へ一般化され、それらの自動形式の枠組みが提供された。
• Kac–Moody 群上の Eisenstein 級数が、有限次元の場合と同様にラプラシアン固有値方程式を満たすことが示され、Weyl 群作用下での同じ無限小特性を有する。
• Eₙ (n = 1 から 8) に対して、最小 Eisenstein 級数 Eₛ^{Eₙ} が、それぞれ R⁴ および ∂⁴R⁴ 補正における係数 ζ(3) および ζ(5) と一致することが同定された。
• 関数 𝒟(0,1) は非同次ラプラシアン方程式を満たし、同次の場合よりもより複雑な構造を示している。
• 本稿は、Eisenstein 級数が高次導関数補正の係数として、ストリング散乱振幅において解釈可能である理論的根拠を提供するが、D=2 におけるアインシュタイン枠組みの障害は依然として課題のままである。