[論文レビュー] Integral identities for 3d dualities with SP(2N) gauge groups

Antonio Amariti|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 44被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、4次元 Seiberg 対称性を円に沿って compactify し、大実質量と半径の縮小を含む二重スケーリング極限を適用することにより、基本表現および随伴表現を含む $σ(2N)$ ゲージ理論における3次元双対性の積分的恒等式を導出する。主な結果は、非自明な極限において双対性を保存するように正則化された楕円ハイパージェオメトリック積分を介して、双対な3次元理論の3次元球面上の分配関数が正確に一致することである。これは、物理的および数学的整合性を保証する形で、既知の4次元インデックス還元を3次元に拡張したものである。

ABSTRACT

In this note we study the reduction of 4d Seiberg duality to 3d for SP(2N) SQCD with an adjoint field. We follow a general prescription that consists in compactifying the dual 4d theories on the circle. This generates an effective 3d duality. The pure 3d duality is obtained by combining the zero radius limit with a real mass flow. Here we perform this limit by a double scaling procedure: we turn on real masses proportional to the radius before shrinking the circle. We apply this mechanism to the reduction of the 4d superconformal index to the three sphere partition function. While the reduction of the 4d index on the circle is straightforward, the 3d limit necessitates the double scaling. We describe this limit on the index, finding the integral identity for the partition functions of the 3d dual theories.

研究の動機と目的

• 4次元 $σ(2N)$ SQCD に随伴場を含む場合の、コンpactificationに伴う一貫性のある4次元/3次元還元を確立し、双対性を保存する。
• 4次元 Seiberg 対称性から従来の3次元双対性を回復する課題を、実質量と円の半径の二重スケーリング極限を導入することによって解決する。
• 基本場および随伴場を有する双対な3次元 $σ(2N)$ ゲージ理論の分配関数を結ぶ正確な積分的恒等式を導出する。
• 4次元超共形インデックスと3次元分配関数の関係を、特に KK モノポールと実質量の流れの役割を含めて、シミプレクティックゲージ群に一般化する。

提案手法

• 4次元 $σ(2N)$ SQCD に随伴場を含む理論を円に沿って compactify し、Kaluza-Klein モノポールを含む有効な3次元双対性を得る。
• 二重スケーリング極限を適用：円の半径を0に近づけながら、同時に実質量を $1/\tilde{r}_1$ に比例してスケーリングし、3次元極限において双対性が保たれることを保証する。
• 分配関数に現れる双曲的ガンマ関数の無限積の発散を、ゼータ関数正則化により取り扱う。
• 4次元超共形インデックスを、単一粒子インデックスから得られる正規化因子 $I_0(m)$ で修正し、3次元極限での整合性を確保する。
• ファイガシティ $u^{(1)} \to u^{(1)}e^{i\pi}$ および $u^{(2)} \to u^{(2)}e^{-i\pi}$ のシフトを施し、ブレーン回転をモデル化する。これにより実質量にシフトが生じ、楕円ガンマ関数の構造が変化する。
• $\tilde{r}_1 \to 0$ 極限において正則化された分配関数をとる。このとき $n=0$ 項のみが生き残り、最終的に双曲的ハイパージェオメトリック恒等式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 $\mathrm{Sp}(2N)$ SQCD に随伴場を含む場合の Seiberg 対称性を、コンパクト化に伴い3次元に一貫して還元する方法は何か？
• RQ2 従来の3次元双対性を4次元親理論から回復するために、二重スケーリング極限が果たす役割は何か？
• RQ3 実質量の摂動と KK モノポール相互作用は、3次元分配関数恒等式のパrameter空間にどのような制約を課えるか？
• RQ4 基本場および随伴場を有する双対な3次元 $\mathrm{Sp}(2N)$ 理論の分配関数を結ぶ正確な数学的恒等式の形は何か？
• RQ5 二重スケーリング極限は、4次元インデックスにおける楕円ハイパージェオメトリック積分の構造をどのように変化させ、3次元で双曲的ハイパージェオメトリック恒等式を導くか？

主な発見

• 二重スケーリング極限の下で、基本場および随伴場を有する双対な $\mathrm{Sp}(2N)$ ゲージ理論の3次元分配関数が一致し、Kim:2013cma が提唱する双対性が確認された。
• 実質量が $1/\tilde{r}_1$ に比例してスケーリングされ、円の半径 $\tilde{r}_1 \to 0$ に近づく二重スケーリング極限が、双対性の保存と異常を回避するために不可欠である。
• 4次元インデックスにおける正規化因子 $I_0(m)$ は、単一粒子インデックスから導出され、3次元極限での整合性を保証する。$m$, $\omega$, および $\tilde{r}_1$ を含む特定の形を取る。
• ゼータ関数法による正則化の後、双曲的ガンマ関数の無限積は $\tilde{r}_1 \to 0$ 極限で1項に簡略化され、有限かつ正確な恒等式が得られる。
• 最終的な恒等式は、双曲的ハイパージェオメトリック積分の等式の形を取る。位相因子 $\exp\left(-\frac{\pi i}{6\tilde{r}_1 \omega_1 \omega_2}(\sum m_a^{(1)} e_a + \sum m_b^{(2)} e_b - \omega(2 - R^{(1)} - R^{(2)}))\right)$ を含み、期待される双対性と一致する。
• この手続きにより、3次元双対性が物理的極限を介して4次元インデックスから導出可能であることが確認され、二重スケーリングが正しい量子補正およびモノポール寄与を捉えている。