[論文レビュー] Anticyclotomic Iwasawa theory of elliptic modular forms at non-ordinary primes

Kâzım Büyükboduk, Antonio Lei|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、虚二次体上の非通常型モジュラー形式に対するIwasawa主予想を定式化し、二重符号付きColeman写像とSelmer群、および二重符号付きBeilinson-Flach類とp進L関数を導入することで、非可換および$Σ\mathbb{Z}_p^2$-ツリー設定におけるこれらの対象を関連付ける。技術的仮定の下で、4つの主な予想のそれぞれについて1つの包含関係を証明し、通常の場合を越えたIwasawa理論を展開する。

ABSTRACT

This article is a continuation of our previous work on the Iwasawa theory of an elliptic modular form over an imaginary quadratic field $K$, where the modular form in question was assumed to be ordinary at a fixed odd prime $p$. We formulate the Iwasawa main conjecture for suitable twists of a newform $f$ that is non-ordinary at $p$, over the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension, the anticyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extensions (in both the \emph{definite} and the \emph{indefinite} cases) as well as the maximal $\mathbb{Z}_p^2$-tower of an imaginary quadratic field $K$ where $p$ splits. In order to do so, we define Kobayashi-Sprung-style doubly-signed Coleman maps, which we use to define doubly signed Selmer groups. In the same spirit, we construct doubly-signed (integral) Beilinson-Flach elements (out of the collection of unbounded Beilinson-Flach elements of Loeffler-Zerbes), which we use to define doubly-signed $p$-adic $L$-functions. The main conjecture then relates these two set of objects. Furthermore, we show that the integral Beilinson-Flach elements form a locally restricted Euler system that allows us to deduce (under certain technical assumptions) one inclusion in each one of the four main conjectures we formulate here.

研究の動機と目的

• 虚二次体上でのpが非通常型である非通常型モジュラー形式に対するIwasawa理論を拡張すること。
• 非可換および$Σ\mathbb{Z}_p^2$-ツリーにおけるKobayashi-Sprung風のColeman写像を用いて、二重符号付きSelmer群を定義すること。
• Loeffler-Zerbesの非有界Beilinson-Flach類から、二重符号付きp進L関数を構成すること。
• 非可換および最大の$Σ\mathbb{Z}_p^2$-ツリーにおける4つのバージョンのIwasawa主予想を定式化し、それぞれについて1つの包含関係を証明すること。
• 整数Beilinson-Flach類が局所制限付きEuler系をなすことを確立し、主予想の包含関係を可能にする。

提案手法

• KobayashiおよびSprungのインスピレーションを受けて、pにおける非通常型の振る舞いに対処する二重符号付きColeman写像を導入する。
• これらのColeman写像を用いて、p進L関数およびガロアコhomologyのデータを捉える二重符号付きSelmer群を定義する。
• Loeffler-Zerbesの非有界な集合から、符号付きフレームワークに適合させるために変形した二重符号付きBeilinson-Flach類を構成する。
• 二重符号付きSelmer群に結びつく補間性質を通じて、二重符号付きp進L関数を定義する。
• 整数Beilinson-Flach類が局所制限付きEuler系をなすことを利用し、4つの主な予想のそれぞれについて1つの包含関係を導出する。
• 技術的仮定を適用して、可換および非可換拡大における符号付き構成の整合性と有限性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 虚二次体上の非通常型モジュラー形式に対するIwasawa主予想は、どのように非通常型に拡張できるか？
• RQ2 非可換および$Σ\mathbb{Z}_p^2$-ツリーにおける非通常型設定において、Coleman写像およびSelmer群の適切な一般化は何か？
• RQ3 二重符号付きBeilinson-Flach類は、符号付きSelmer群と一致するp進L関数を生成できるか？
• RQ4 整数Beilinson-Flach類の局所制限付きEuler系性質は、主予想の包含関係をどのように支援するか？
• RQ5 これらの構成は、非通常型Iwasawa理論におけるp進L関数およびSelmer群の構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿は、虚二次体の非可換および$Σ\mathbb{Z}_p^2$-ツリーにおける非通常型モジュラー形式に対するIwasawa主予想の4つのバージョンを定式化している。
• 非通常型の場合の符号付きSelmer群を定義するために、二重符号付きColeman写像が構成され、通常の場合の枠組みを一般化している。
• Loeffler-Zerbesの非有界な要素から、二重符号付きBeilinson-Flach類が定義され、符号付きp進L関数の構成が可能になった。
• 整数Beilinson-Flach類は局所制限付きEuler系をなしており、4つの主な予想のそれぞれについて1つの包含関係の導出を可能にした。
• 技術的仮定の下で、4つの設定（確定的および不確定的非可換、$Σ\mathbb{Z}_p^2$-ツリー）において、主予想の1つの包含関係がそれぞれ証明された。
• この枠組みは、非可換方向における非通常型Iwasawa理論に対する体系的なアプローチを提供し、可換および$Σ\mathbb{Z}_p^2$-ツリーのケースを統合している。