[論文レビュー] Integral models of Shimura varieties with parahoric level structure

Mark Kisin, G. Pappas|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、群 $G$ がアーベル型であり、$\mathbb{Q}_p$ の分岐が単純な拡大で分岐する場合に、$p > 2$ におけるパラホリックレベル構造をもつ志村多様体の整数的モデルを構成する。これらのモデルの局所的構造は、群論的に定義された「局所的モデル」を介して記述され、著者らは近くのサイクルの層がコットヴィッツの予想、つまり半単純フロベニウスのトレースがパラホリックヘッケ代数におけるバーナイン関数と明示的に関連することを証明する。

ABSTRACT

For an odd prime p, we construct integral models over p for Shimura varieties with parahoric level structure, attached to Shimura data (G,X) of abelian type, such that G splits over a tamely ramified extension of Q_p. The local structure of these integral models is related to certain "local models", which are defined group theoretically. Under some additional assumptions, we show that these integral models satisfy a conjecture of Kottwitz which gives an explicit description for the trace of Frobenius action on their sheaf of nearby cycles.

研究の動機と目的

• $p > 2$ におけるパラホリックレベル構造をもつ志村多様体について、その反射体 $E$ 上の標準モデルを $\mathcal{O}_E$-整数的で平坦なモデルに拡張すること。
• これらの整数的モデルの局所的構造を、グラスマンニアンにおける軌道閉包として定義される明示的な群論的「局所的モデル」に関連付けること。
• コットヴィッツが提唱した、近くのサイクルの層における半単純フロベニウスのトレースに関する予想を検証すること。この予想は、パラホリックヘッケ代数におけるバーナイン関数で記述される。
• ラングランズ–コットヴィッツの方法を、特にアーベル型で分岐が単純な志村多様体に対して、パラホリックレベルの場合に拡張すること。

提案手法

• 平坦な $\mathcal{O}_E$-スキームとしての拡張性質を用いて整数的モデルを構成し、$G(\mathbb{A}_f^p)$-作用と小さなコンパクト開部分群による商と整合性を持つように保証する。
• ブルハット＝ティツ理論を用いて、$\mathcal{B}(G, \mathbb{Q}_p)$ の点に対応するパラホリック部分群 $\mathsf{K}_p^\circ \subset G(\mathbb{Q}_p)$ を定義し、$\mathbb{Z}_p$ 上の滑らかな群スキーム $\mathcal{G}^\circ$ を得る。
• 局所的モデル $\mathrm{M}^{\mathrm{loc}}_{G,X}$ をグラスマンニアンにおける軌道閉包として定義し、$\mathcal{G}^\circ$ の作用を備える。このモデルを、局所–グローバル整合性を介してグローバルな整数的モデルと関連付ける。
• $p$-可除群の変形理論を、クリスタリンまたはエタール的サイクルを伴うものとして応用し、整数的モデルの局所的構造を解析する。
• ヘッケ代数の比較をベルンシュタイン同型を通して行い、パラホリックヘッケ代数の中心における関連するバーナイン関数を同定する。
• ベルンシュタイン同型とサタケ同型の整合性を用いて、局所的モデル上の特性関数と近くのサイクルにおけるフロベニウスのトレースを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $G$ にやや弱い条件を課した場合に、$p > 2$ におけるパラホリックレベル構造をもつ志村多様体について、整数的モデルを構成できるか？
• RQ2 このような整数的モデルの局所的構造は、群論的に定義された「局所的モデル」とどのように関係するか？
• RQ3 これらの整数的モデルにおける近くのサイクルの層の半単純フロベニウスのトレースは、コットヴィッツの予想を満たすか？
• RQ4 近くのサイクルにおけるフロベニウスのトレースは、パラホリックヘッケ代数におけるバーナイン関数で明示的に表現できるか？
• RQ5 群 $G$ が非分岐であるとき、インertial作用が近くのサイクルに与える役割は何か？

主な発見

• $E$-スキーム $\mathrm{Sh}_{\mathsf{K}^\circ_p}(G,X)$ は、$G(\mathbb{A}_f^p)$-同変な平坦な整数的モデル $\mathscr{S}_{\mathsf{K}^\circ_p}(G,X)$ を $\mathcal{O}_E$ 上に持ち、拡張性質を満たす。
• 群 $G$ が非分岐であり、$p \nmid |\pi_1(G^{\mathrm{der}})|$ であるとき、インertial群は整数的モデルの近くのサイクルの層にユニポテンツに作用する。
• 点 $y \in \mathscr{S}(\mathbb{F}_q)$ における近くのサイクルの半単純フロベニウスのトレースは、$q^{d/2} z_{\mu,r}(w)$ で与えられる。ここで $w \in \mathrm{M}^{\mathrm{loc}}_{G,X}$ は $y$ に対応し、$z_{\mu,r}$ はパラホリックヘッケ代数 $C_c(P_r \backslash G(E_r)/P_r)$ の中心におけるバーナイン関数である。
• $\mathrm{M}^{\mathrm{loc}}_{G,X}$ に関連する関数 $\varphi_r$ は、パラホリックヘッケ代数における唯一の中心関数であり、ベルンシュタイン同型の下で、$\mu'$ に対応する二重コセットの特性関数に写される。
• 同型 $C_r(\mathsf{P}'_r \backslash G'(\mathbb{F}_q((t)))/\mathsf{P}'_r) \cong C_c(P_r \backslash G(E_r)/P_r)$ は、バーナイン関数 $z'_{\mu',r}$ を $z_{\mu,r}$ に写し、局所的およびグローバルなトレース公式の整合性を確認する。
• この結果は、$(G^{\mathrm{ad}}, X^{\mathrm{ad}})$ がタイプ $D^\mathbb{H}$ の因子を持たない、または $\mathsf{K}_p^\circ$ が超特異部分群に含まれるという仮定の下で成り立つ。