[論文レビュー] Integral Points on Elliptic Curves and the Bombieri-Pila Bounds

Dave Mendes da Costa|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、高さ理論、反発法、および大篩を用いて、非有理楕円曲線における整数点のボンビエリ＝パイラの境界を改善し、$ f \in \mathbb{Z}[x] $ でモニックな3次式であり、$ c_4 $ および $ j $-不変量に特定の条件を満たす $ y^2 = f(x) $ の形をした楕円曲線の広い族に対して、サイズ $ N $ のボックス内の整数点の数が、曲線に依存しない一様に $ O(N^{1/3 - \delta}) $（$ \delta > 0 $）であることを示している。

ABSTRACT

Let C be an affine, plane, algebraic curve of degree d with integer coefficients. In 1989, Bombieri and Pila showed that if one takes a box with sides of length N then C can obtain no more than O_{d,ε}(N^{1/d+ε}) integer points within the box. Importantly, the implied constant makes no reference to the coefficients of the curve. Examples of certain rational curves show that this bound is tight but it has long been thought that when restricted to non-rational curves an improvement should be possible whilst maintaining the uniformity of the bound. In this paper we consider this problem restricted to elliptic curves and show that for a large family of these curves the Bombieri-Pila bounds can be improved. The techniques involved include repulsion of integer points, the theory of heights and the large sieve. As an application we prove a uniform bound for the number of rational points of bounded height on a general del Pezzo surface of degree 1.

研究の動機と目的

• 非有理曲線、特に楕円曲線における整数点の均一なボンビエリ＝パイラの境界 $ O_{d,\epsilon}(N^{1/d + \epsilon}) $ の改善を図ること。
• 曲線の係数に依存しない、$ N $ における非多項式的下界を、広い族の楕円曲線における整数点の数に対して確立すること。
• これらの境界を一般の1次デル・ペッツォ表面における有理点に拡張し、一様な $ O(N^{3 - \delta}) $ 評価を達成すること。
• 非有理曲線、特に楕円曲線においてボンビエリ＝パイラの境界がタイトでないことを示すために、非自明な指数の低下を構成すること。

提案手法

• 特に局所標準高さを用いた楕円曲線上の高さ理論を用いて、整数点の分布を分析する。
• 整数点の反発法を適用し、モーデル＝ヴェイユ群の構造を活用して、点が互いにあまり近くならないことを示す。
• 大篩不等式を用いて、等差数列や構造的集合に位置する整数点の数を制御する。
• 1次デル・ペッツォ表面を特異化することで得られる楕円曲線族 $ E_{(u,v)} $ における整数点の数を数える問題に帰着する。
• 特異ファイバー（判別式が0となるもの）に対してボンビエリ＝パイラの境界を適用し、その寄与が無視できる、$ O(N^{1/12 + \epsilon}) $ であることを示す。
• 非特異ファイバーに対して改善された境界 $ O(N^{1 - \delta}) $ を得たのち、$ (u,v) $ の選び方の数が $ O(N^2) $ であることを組み合わせ、表面全体における最終的な一様境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有理曲線、特に楕円曲線において、ボンビエリ＝パイラの境界 $ O_{d,\epsilon}(N^{1/d + \epsilon}) $ は改善可能か？
• RQ2 楕円曲線 $ y^2 = f(x) $ における整数点の数に対して、曲線の係数に依存しない一様な指数 $ 1/3 - \delta $ が存在するか？
• RQ3 楕円曲線におけるこのような改善された境界を、一般の1次デル・ペッツォ表面における有界高さの有理点に対して一様な境界を導出するために利用可能か？
• RQ4 非自明な $ j $-不変量および負の $ c_4 $-不変量の存在が、より強い一様境界を可能にするか？

主な発見

• $ f \in \mathbb{Z}[x] $ でモニックな3次式であり、重複根を持たない楕円曲線 $ y^2 = f(x) $ に対して、サイズ $ N $ のボックス内の整数点の数は、ある $ \delta > 0 $ に対して $ O(N^{1/3 - \delta}) $ である。この定数は、すべてのこのような曲線にわたって一様である。
• $ c_4(E) < 0 $ および $ j(E) > \epsilon > 0 $ という追加の仮定のもとで、$ \delta $ が $ \epsilon $ のみに依存し、曲線に依存しない $ O_\epsilon(N^{1/3 - \delta}) $ の境界が成り立つ。
• 曲線族 $ E_{(u,v)} $ における特異ファイバーの数は、$ O_\epsilon(N^{1/12 + \epsilon}) $ であり、これは主要項に比べて無視できる。
• 一般の1次デル・ペッツォ表面 $ X $ に対して、高さ $ \leq N $ の有理点の数は、ある $ \delta > 0 $ に対して $ O(N^{3 - \delta}) $ である。この定数は $ X $ にわたって一様である。
• ボンビエリ＝パイラの境界に対する改善は非自明かつ一様であり、非有理曲線において境界がタイトでないことを示している。