[論文レビュー] Torsion points on elliptic curves with complex multiplication

Pete L. Clark, B. Cook+1 more|ArXiv.org|Jul 15, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、CM楕円曲線の素数位の捩れ点の上限を、CM順序のクラス数と素数の分解挙動を組み込むことで精緻化し、漸近的に最適な上限を証明する。さらに、十分に大きな $N$ に対して、$X_1(N)$ は、すべての非CM点のうち有限個を除き、より小さい次数の有理CM点を持つことを示し、CM曲線と非CM曲線における捩れ点の分布の主要な相違を確立する。

ABSTRACT

We present seven theorems on the structure of prime order torsion points on CM elliptic curves defined over number fields. The first three results refine bounds of Silverberg and Prasad-Yogananda by taking into account the class number of the CM order and the splitting of the prime in the CM field. In many cases we can show that our refined bounds are optimal or asymptotically optimal. We also derive asymptotic upper and lower bounds on the least degree of a CM-point on X_1(N). Upon comparison to bounds for the least degree for which there exist infinitely many rational points on X_1(N), we deduce that, for sufficiently large N, X_1(N) will have a rational CM point of degree smaller than the degrees of at least all but finitely many non-CM points.

研究の動機と目的

• 数体上のCM楕円曲線の捩れ点の最大素数位を、既存の上限を精緻化すること。
• CM順序のクラス数とCM体における素数の分解挙動を、捩れ点の上限に組み込むこと。
• $X_1(N)$ 上のCM点の最小次数に対する漸近的上界と下界を確立すること。
• $X_1(N)$ 上の有理CM点の最小次数を非CM点の最小次数と比較し、$N$ が十分に大きい場合、CM点が次数の面で著しく小さくなることを示すこと。
• 大きな $N$ に対して、CM点が有理捩れ点の中で次数最小性において支配的であることを示すこと。

提案手法

• 算術級数におけるMertensの積分公式と素数定理を用いて、$N_n$ を $p \equiv 1 \pmod{3}$ なる素数の積とするときの $N_n / \varphi(N_n)$ の成長を分析すること。
• 円分拡大の合成体を用いて、次数 $d_n$ の数体 $L_n$ を構成し、大きな捩れ部分群を実現するCM楕円曲線を構成すること。
• 固定された $j$-不変量におけるCM点の次数上限の最適性を示すSerreの定理を応用し、独立的なねじれの有効性を制限すること。
• Abramovichのモジュラー曲線のゴノリティーバインドとFaltingsの定理を用いて、有界次数の点の数に対する下界を導出すること。
• 標準バンドルを用いて $X_1(N)$ のゴノリティーをバインドし、有理点の次数に制約を課すこと。
• $\log \log d_n$ と $N_n / \varphi(N_n)$ の漸近的成長率を比較し、次数に対する捩れ部分群のサイズの下界を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラス数と素数の分解データを組み込むことで、CM楕円曲線の捩れ点の最大素数位に対する上限を改善できるか？
• RQ2 $X_1(N)$ 上のCM点の最小次数の漸近的成長率は何か？
• RQ3 十分に大きな $N$ に対して、$X_1(N)$ に、すべての非CM点のうち有限個を除き、より小さい次数の有理CM点が存在するか？
• RQ4 $X_1(N)$ のゴノリティーは、有界次数の有理点の存在をどのように制限するか？
• RQ5 次数に対する捩れ部分群のサイズの下限が、漸近的に最適であるか？

主な発見

• 本稿は、クラス数と分解挙動を組み込んだ $P_{\text{CM}}(d)$ の上限が、漸近的に最適であるか、多くの場合に最適であることを確立する。
• ある $C > 0$ に対して、無限に多くの $n$ に対して $\frac{|E(L_n)[\text{tors}]|}{d_n} \geq C \sqrt{\log \log d_n}$ が成り立つことを証明し、次数に対する捩れの成長率が少なくともこの程度であることを示す。
• 十分に大きな $N$ に対して、$X_1(N)$ は、すべての非CM点のうち有限個を除き、より小さい次数の有理CM点を持つ。これは、CM点が次数最小性において支配的であることを示唆する。
• 有理CM点の最小次数は、無条件で $\frac{7}{3200}(N^2 - 1)$ 以上で下から抑えられ、Selbergの固有値予想が成り立つと仮定すれば $\frac{1}{384}(N^2 - 1)$ 以上で抑えられる。
• 素数 $p_i \equiv 1 \pmod{3}$ を用いて $L_n$ を構成すると、$d_n \sim n^2 \log n$ となり、$|E(L_n)[\text{tors}]| \gg \sqrt{\log \log d_n}$ となる。これは成長率の確認である。
• 本稿は、Serreの定理が、固定された $j$-不変量における次数下限が漸近的に最適であることを示し、独立的なねじれによるさらなる改善が制限されることを示す。