[論文レビュー] Integral Theory for Quasi-Hopf Algebras

Frank Haußer, Florian Nill|ArXiv.org|Apr 29, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 91

ひとこと要約

この論文は、ホップ代数のラーソン＝スウィーダー構造定理を準ホップ代数へ一般化し、有限次元の準ホップ代数における積分の存在およびスカラー倍を除き一意であることを確立する。また、双対空間へのコ積分を導入し、それが非退化であること（代数がフロベニウス的であること）を証明し、理論を応用して対角クロス積（特に量子二重）に対するマシュケ型定理を示す。

ABSTRACT

We generalize the fundamental structure Theorem on Hopf (bi)-modules by Larson and Sweedler to quasi-Hopf algebras H. If H is finite dimensional this proves the existence and uniqueness (up to scalar multiples) of integrals in H. Among other applications we prove a Maschke type Theorem for diagonal crossed products as constructed by the authors.

研究の動機と目的

• ホップモジュールの基本的構造定理を準ホップ代数へ拡張すること。
• 有限次元の準ホップ代数における積分の存在および一意性を確立すること。
• 準ホップ代数の双対空間におけるコ積分理論を構築すること。
• 対角クロス積 $A\bowtie\hat{H}$ に対するマシュケ型定理を証明すること、特に量子二重 $D(H)$ を含むこと。
• ラドフォードの公式を一般化し、準ホップ設定における半単純性および一様モジュラリティを特徴付けること。

提案手法

• ホップバイモジュールのラーソン＝スウィーダー構造定理を準ホップバイモジュールへ一般化する。
• 有限次元 $H$ に対して、双対空間 $\hat{H}$ に準ホップ $H$-バイモジュール構造を構成し、同型 $\hat{H} \cong \mathcal{L} \otimes H$ を得る。
• コ積分を一様次元部分空間 $\mathcal{L} \subset \hat{H}$ の元として定義し、それが非退化であることを証明し、フロベニウス性を示す。
• コ積分を用いてフーリエ変換を導入し、ホップ代数の場合へ一般化する。
• コ積分およびモジュラー自己同型を用いて、半単純および一様モジュラーな準ホップ代数を特徴付ける。
• ココアントラルな双線形形式を用いてコ積分を特徴付け、$H$ が半単純かつ一様モジュラーで正規化されたコ積分を持つとき、$D(H)$ が半単純であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップモジュールのラーソン＝スウィーダー構造定理は、準ホップ代数へ拡張可能か？
• RQ2 有限次元の準ホップ代数は積分を有し、スカラー倍を除き一意的か？
• RQ3 双対空間 $\hat{H}$ におけるコ積分理論は、フロベニウス性および半単純性の証明に用いることができるか？
• RQ4 対角クロス積 $A\bowtie\hat{H}$ が半単純となる条件は何か？
• RQ5 $H$ が半単純かつ一様モジュラーであるとき、量子二重 $D(H)$ は半単純か？

主な発見

• 有限次元の準ホップ代数では、積分が存在し、スカラー倍を除き一意的であり、ホップ代数の場合へ一般化される。
• 双対空間 $\hat{H}$ は準ホップ $H$-バイモジュール構造をもち、$\mathcal{L}$ をコ積分の一次元部分空間として $\hat{H} \cong \mathcal{L} \otimes H$ という同型が得られる。
• すべての非ゼロコ積分は非退化であり、したがってすべての有限次元の準ホップ代数はフロベニウス的である。
• 対角クロス積 $A\bowtie\hat{H}$ に対してマシュケ型定理が成り立ち、$H$ が半単純かつ一様モジュラーで正規化されたコ積分を持つとき、$D(H)$ は半単純である。
• コロナリー8.3の条件のもとで、量子二重 $D(H)$ は半単純であり、ハール積分は $\beta \rightharpoonup \lambda_0 \bowtie e$ で与えられる。