[論文レビュー] Integrality structures in topological strings I: framed unknot

Wei Luo, Shengmao Zhu|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 42被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、任意の整数フレーミング τ における解体されたコンパクト化のアガニコビ＝バーファブレーンを伴う開弦 LMOV 不変量の整数性を確立する。BKMP トポロジカル再帰と大 N 対 dual に基づき、 genus 0 の LMOV 不変量が整数であることを証明し、高 genus 不変量の生成関数が特定の整数環に属することを導出する。主な結果として、τ ≤ -1 の場合、還元された開弦分割関数が |τ|-ループクイバーの同調的ホール代数のヒルベルト＝ポワンカーレ系列と一致する、開弦 GW/DT 対応が成立する。

ABSTRACT

We study the open string integrality invariants (LMOV invariants) for toric Calabi-Yau 3-folds with Aganagic-Vafa brane (AV-brane). In this paper, we focus on the case of the resolved conifold with one out AV-brane in any integer framing $τ$, which is the large $N$ duality of the Chern-Simons theory for a framed unknot with integer framing $τ$ in $S^3$. We compute the explicit formulas for the LMOV invariants in genus $g=0$ with any number of holes, and prove their integrality. For the higher genus LMOV invariants with one hole, they are reformulated into a generating function $g_{m}(q,a)$, and we prove that $g_{m}(q,a)\in (q^{1/2}-q^{-1/2})^{-2}\mathbb{Z}[(q^{1/2}-q^{-1/2})^2,a^{\pm 1/2}]$ for any integer $m\geq 1$. As a by product, we compute the reduced open string partition function of $\mathbb{C}^3$ with one AV-brane in framing $τ$. We find that, for $τ\leq -1$, this open string partition function is equivalent to the Hilbert-Poincaré series of the Cohomological Hall algebra of the $|τ|$-loop quiver. It gives an open string GW/DT correspondence.

研究の動機と目的

• 解体されたコンパクト化に1つの AV ブレーンを伴う任意の整数フレーミング τ における開弦 LMOV 不変量の整数性を証明すること。
• 任意の穴の数を伴う genus 0 の LMOV 不変量の明示的公式を導出すること。
• 1つの穴を伴う高 genus の LMOV 不変量を生成関数に再定式化し、指定された環におけるその整数性を証明すること。
• C³ に AV ブレーンを伴う還元された開弦分割関数と、τ ≤ -1 の場合の |τ|-ループクイバーの同調的ホール代数のヒルベルト＝ポワンカーレ系列との対応関係を確立すること。
• 二項係数の数論的性質を用いた直接的証明により、極端な LMOV 不変量の整数性を示すこと。

提案手法

• BKMP トポロジカル再帰法を用い、解体されたコンパクト化に AV ブレーンを伴う鏡曲線を通じて、開 Gromov-Witten 不変量を計算する。
• 大 N 対 dual を用い、解体されたコンパクト化上の開弦分割関数を、フレームド・アンコイルトの S³ 上のチャーン＝サイモンズ分割関数に関連付ける。
• a-変形 A 多項式を鏡曲線として導出し、開弦幾何を記述する。
• Eynard-Orantin 再帰を用い、ディスクおよびアンナラス振幅を計算し、genus 0 および高 genus 不変量に到達する。
• genus g ≥ 1 の LMOV 不変量を生成関数 gₘ(q,a) に再定式化し、それが (q¹ᐟ² − q⁻¹ᐟ²)⁻²ℤ[(q¹ᐟ² − q⁻¹ᐟ²)², a±¹ᐟ²] に属することを証明する。
• τ ≤ -1 の場合、還元された開弦分割関数を |τ|-ループクイバーの同調的ホール代数のヒルベルト＝ポワンカーレ系列と比較し、積因子分解と GW/DT 対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解体されたコンパクト化に AV ブレーンを伴うフレーミング τ における LMOV 不変量が、すべての τ ∈ ℤ に対して整数であるか？
• RQ2 任意の穴の数を伴う genus 0 の LMOV 不変量に対して明示的公式を導出可能か？
• RQ3 1つの穴を伴う高 genus の LMOV 不変量の生成関数の構造は何か？ そして、指定された環において整数であるか？
• RQ4 C³ に AV ブレーンを伴うフレーミング τ ≤ -1 における還元された開弦分割関数が、|τ|-ループクイバーの同調的ホール代数のヒルベルト＝ポワンカーレ系列に一致するか？
• RQ5 二項係数の数論的性質を用いた直接的証明により、極端な LMOV 不変量の整数性を示せるか？

主な発見

• 任意の整数フレーミング τ におけるフレームド・アンコイルトの genus 0 の LMOV 不変量が整数であることが証明された。
• 1つの穴を伴う genus-g ≥ 1 の LMOV 不変量の生成関数 gₘ(q,a) は、すべての m ≥ 1 に対して (q¹ᐟ² − q⁻¹ᐟ²)⁻²ℤ[(q¹ᐟ² − q⁻¹ᐟ²)², a±¹ᐟ²] に属する。
• τ ≤ -1 の場合、(C³, Dₜ) 上の還元された開弦分割関数 Zₜ(q,x) は、|τ|-ループクイバーの同調的ホール代数のヒルベルト＝ポワンカーレ系列 P₋ₜ(q, (-1)ᵗ⁻¹xq¹ᐟ²) に等しい。
• 分割関数は非負整数 cₙ,ₖ を含む積展開を有し、τ ≤ -1 の場合に GW/DT 対応が確認された。
• フレームド・アンコイルトの極端な LMOV 不変量 Nₘ,ₖ(τ) は、二項係数の可除性を用いた直接的な数論的証明により整数であることが示された。
• 同様の手法を用いて、ねじれケーブルの BPS 不変量 bₖₚ,ᵣ⁻ および bₖₚ,ᵣ⁺ の整数性が確立され、p-進付値による二項係数の可除性により確認された。