[論文レビュー] Integrals of products of Hurwitz zeta functions via Feynman parametrization and two double sums of Riemann zeta functions

M. A. Shpot, R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、解析接続を回避して、フェインマンパラメトライゼーションを用いたHurwitzゼータ関数の積を含む積分の新しい導出を提示する。$ I(a,b) $ および $ J(a,b) $ の閉形式評価を確立し、リーマンゼータ関数を含む無限重級数を2つ導出し、$ a+b $ が負の整数またはゼロである場合の明示的結果を示す。

ABSTRACT

We consider two integrals over $x\in [0,1]$ involving products of the function $ζ_1(a,x)\equiv ζ(a,x)-x^{-a}$, where $ζ(a,x)$ is the Hurwitz zeta function, given by $$\int_0^1ζ_1(a,x)ζ_1(b,x)\,dx\quad\mbox{and}\quad \int_0^1ζ_1(a,x)ζ_1(b,1-x)\,dx$$ when $\Re (a,b)>1$. These integrals have been investigated recently in \cite{SCP}; here we provide an alternative derivation by application of Feynman parametrization. We also discuss a moment integral and the evaluation of two doubly infinite sums containing the Riemann zeta function $ζ(x)$ and two free parameters $a$ and $b$. The limiting forms of these sums when $a+b$ takes on integer values are considered.

研究の動機と目的

• フェインマンパラメトライゼーションを用いて、補助的Hurwitzゼータ関数 $ \zeta_1(a,x) $ の積を含む積分の代替的導出を提供すること。
• 解析接続に依存せずに、$ \Re(a,b) > 1 $ の範囲で積分 $ I(a,b) = \int_0^1 \zeta_1(a,x)\zeta_1(b,x)\,dx $ および $ J(a,b) = \int_0^1 \zeta_1(a,x)\zeta_1(b,1-x)\,dx $ を評価すること。
• モーメント積分 $ H_n(a) = \int_0^1 x^n \zeta(a,x)\,dx $ を調査し、それを用いてリーマンゼータ関数を含む二重無限重級数を評価すること。
• $ a+b $ が負の整数またはゼロである場合のこれらの重級数の極限形を特定し、閉形式の表現を導出すること。

提案手法

• 分母の積を単一積分に変換するフェインマンパラメトライゼーションを適用し、$ \zeta_1(a,x)\zeta_1(b,x) $ および $ \zeta_1(a,x)\zeta_1(b,1-x) $ の評価を簡略化する。
• 積分表現 $ \frac{1}{A^a C^b} = \frac{1}{B(a,b)} \int_0^1 \frac{w^{b-1}(1-w)^{a-1}}{[A + w(C-A)]^{a+b}}\,dw $ を用いて、ゼータ関数の積を積分に適した形に表現する。
• Wiltonの公式 $ \sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} \zeta(a+k,b) x^k = \zeta(a,b-x) $ を用いて、級数展開とゼータ関数を関連付ける。
• ベータ関数 $ B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} $ およびポッヒハマー記号の性質を用いて、超幾何関数およびゼータ関数の項を簡略化する。
• $ a+b $ が整数である場合の特異性を処理するため、微小パラメータ $ \epsilon $ を用いた正則化を適用し、その後 $ \epsilon \to 0 $ の極限を取る。
• 既知のリーマンゼータ関数の特殊値、たとえば $ \zeta(-2m) = 0 $ および $ \zeta(-2m-1) = -\frac{B_{2m+1}}{2m+1} $ を用いて、負の整数における重級数の評価を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェインマンパラメトライゼーションを用いて、解析接続に依存せずに積分 $ I(a,b) $ および $ J(a,b) $ を評価できるか？
• RQ2 $ a+b $ が負の整数であるとき、重級数 $ S_2(a,b) = \sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_j(b)_k}{j!k!(j+k+1)} \zeta(a+j)\zeta(b+k) $ の閉形式評価は何か？
• RQ3 重級数の極限形は $ a+b \to -2m $ または $ -2m-1 $ のときどのように振る舞い、その正確な値は何か？
• RQ4 重級数の評価において、モーメント積分 $ H_n(a) = \int_0^1 x^n \zeta(a,x)\,dx $ の果たす役割は何か？
• RQ5 パラメトライゼーションで生じる超幾何関数は、$ \epsilon \to 0 $ の極限で簡略化可能か？

主な発見

• $ \Re(a,b) > 1 $ の範囲で、積分 $ I(a,b) $ は $ \frac{1}{a+b-1} + \left[ B(a+b-1,1-a) + B(a+b-1,1-b) \right] \zeta(a+b-1) - \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n}{(1-b)_{n+1}} (\zeta(a+n)-1) - \sum_{n=0}^\infty \frac{(b)_n}{(1-a)_{n+1}} (\zeta(b+n)-1) $ として評価される。
• $ \Re(a,b) > 1 $ の範囲で、積分 $ J(a,b) $ は $ B(1-a,1-b)(\zeta(a+b-1)-1) - \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n}{n!} \frac{\zeta(a+n)-1}{n+1-b} - \sum_{n=0}^\infty \frac{(b)_n}{n!} \frac{\zeta(b+n)-1}{n+1-a} $ として与えられる。
• $ a+b = -2m $ のとき、重級数 $ S_2(a,b) $ は $ -\frac{\Gamma(1-a)\Gamma(2m+1+a)}{(2m+1)!} \cos\pi a \, \zeta(-2m-1) $ に等しくなる。この結果は $ -2m-1 < \Re(a) < 1 $ の範囲で有効である。
• $ a+b = -2m-1 $ のとき、重級数 $ S_2(a,b) $ は $ \frac{2(a)_{2m+2}}{(2m+2)!} \zeta'(-2m-2) $ に等しくなる。この結果は $ -2m-2 < \Re(a) < 1 $ の範囲で有効である。
• 具体的な評価として、$ -1 < \Re(a) < 1 $ の範囲で $ S_2(a,-a) = \frac{\pi a}{12} \cot \pi a $ が成り立ち、$ -2 < \Re(a) < 1 $ の範囲で $ S_2(a,-1-a) = a(a+1)\zeta'(-2) = \frac{a(a+1)}{4\pi^2} \zeta(3) $ が成り立つ。
• モーメント積分 $ H_n(a) $ は、特に $ a $ が正の整数で $ 2 \leq m \leq n $ のとき、重級数の評価に用いられる。