[論文レビュー] Integrating Gauge Fields in the $\zeta$-formulation of Feynman's path integral

Tobias Hartung, Karl Jansen|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、フェ Feynman の経路積分の ζ-正則化を、フーリエ積分作用素 ζ-関数を用いてゲージ場理論へ拡張し、外部ゲージ場におけるスカラー場およびディラック場の真空期待値を解析的に計算可能にする。ζ-正則化が、正しいフェルミ粒子の手前の電荷や基底状態エネルギーといった物理的に一貫した結果をもたらすことが示され、ゲージ場の存在下でのスペクトルデータから得られるHurwitz zeta関数の解析接続によって実現される。

ABSTRACT

In recent work by the authors, a connection between Feynman's path integral and Fourier integral operator $\zeta$-functions has been established as a means of regularizing the vacuum expectation values in quantum field theories. However, most explicit examples using this regularization technique to date, do not consider gauge fields in detail. Here, we address this gap by looking at some well-known physical examples of quantum fields from the Fourier integral operator $\zeta$-function point of view.

研究の動機と目的

• フェインマンの経路積分の ζ-正則化フレームワークを、これまでこの形式で十分に検討されていなかったゲージ場に拡張すること。
• ゲージ相互作用を伴う量子場理論における真空期待値を計算するための数学的に厳密かつ物理的に一貫した方法を、作用素 ζ-関数を用いて確立すること。
• ζ-正則化されたアプローチが、外部ゲージ場中におけるスカラー場およびディラック場に対して、既知の物理的結果（例えば、手前の異常や基底状態エネルギー）を再現することを示すこと。
• この方法が連続極限と整合し、数値的実装（以前の提案通り、量子コンピュータ上でも可能）が可能であることを示すこと。
• フーリエ積分作用素のスペクトルゼータ関数を用いて、ゲージ理論における非摂動的効果を体系的に取り扱うフレームワークを提供すること。

提案手法

• 真空期待値を ζ-関数の比として形式化する：⟨A⟩ζ = lim_{T→∞+i0} ζ(U(T,0)GA)/ζ(U(T,0)G) （z=0 で）。ここで G は正則関数族の作用素である。
• 時間発展演算子 U(T,0) および観測量 A に ζ-関数正則化を適用し、τ(A(z)) の z=0 における単純な解析接続を用いる。
• ゲージ場の存在下でのハミルトニアンのスペクトル分解（例：A0=0, A1=A）を用いて、エネルギー準位や電荷を固有モードの形で表現する。
• 正および負のヘリシティセクターにおける正則化のため、ゲージ族 G±(z) = |H±|z を導入し、離散的エネルギー準位の和を正則化する。
• Hurwitz zeta関数 ζH(s;x) を用いて、固有値の和を解析接続し、s=0 および s=−1 における既知の値を用いて ⟨Q⟩ および ⟨H⟩ を計算する。
• zeta関数の解析接続により、手前の電荷および基底状態エネルギーを導出し、既知の異常および物理的期待と整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フーリエ積分作用素 ζ-関数に基づく ζ-正則化フレームワークを、ゲージ場を含む量子場理論に一貫して拡張できるか？
• RQ2 外部ゲージ場中におけるスカラー場およびディラック場の ζ-正則化された真空期待値が、手前の異常といった既知の物理的結果を再現するか？
• RQ3 ゲージ場を伴うハミルトニアンのスペクトルデータを、ゼータ関数を用いて正則化することで、有限で物理的に意味のある結果を得られるか？
• RQ4 ζ-正則化アプローチは連続極限と整合し、非摂動的または数値的に計算された系に適用可能か？
• RQ5 本稿で扱ったアーベル型の場合に限らず、非アーベルゲージ場やより複雑な背景への一般化は可能か？

主な発見

• N+-N−-真空におけるζ-正則化された手前の電荷は、⟨Q+⟩N+,ζ = N+ − C+ および ⟨Q−⟩N−,ζ = C− − N− であり、C± = (e∮A)/(2π) ∓ mX である。したがって、⟨Q5⟩N+,N−,ζ = N+ + N− − 2(e∮A)/(2π) が得られる。
• ディラック場の基底状態エネルギーは、⟨HF⟩N+,N−,ζ = (π/X)(⟨Q+⟩2N+,ζ + ⟨Q−⟩2N−,ζ − 1/6) として明示的に表され、手前の電荷および異常項に依存することが示される。
• 正則化により、正しい手前の異常が再現される：⟨Q5⟩N+,N−,ζ は Wilson ループ ∮A に依存しており、これは経路積分におけるゲージ不変な位相因子である。
• s=0 および s=−1 における Hurwitz zeta 関数の正則化により、⟨Q+⟩N+,ζ = N+ − C+ および ⟨H+⟩N+,ζ = −(π/X)((⟨Q+⟩N+,ζ)² − 1/12) が得られ、既知のゼータ正則化の結果と一致する。
• このフレームワークは連続極限と整合し、数値的実装（先行研究[18]で示されたように、量子コンピュータ上でも可能）が可能である。
• 本手法は、ハミルトニアンをフーリエ積分作用素として扱い、そのスペクトルデータをゼータ関数で正則化することで、既知の ζ-正則化技術をゲージ場を含む形に一般化する。