[論文レビュー] A New Look At The Path Integral Of Quantum Mechanics

Edward Witten|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 40

ひとこと要約

この論文は、2次元Aモデルにおける brane に関連する複素化された統合サイクルを通じて、量子力学におけるファインマン経路積分を再解釈し、量子力学とトポロジカル弦理論との間で直接的な幾何的対応を確立する。さらに、この枠組みを拡張して、4次元N=4超ヤン・ミルズ理論における境界条件として3次元のチチェン・シンスミス経路積分が現れることを示し、3次元ゲージ理論と4次元超対称場理論の間の深いつながりを明らかにする。

ABSTRACT

The Feynman path integral of ordinary quantum mechanics is complexified and it is shown that possible integration cycles for this complexified integral are associated with branes in a two-dimensional A-model. This provides a fairly direct explanation of the relationship of the A-model to quantum mechanics; such a relationship has been explored from several points of view in the last few years. These phenomena have an analog for Chern-Simons gauge theory in three dimensions: integration cycles in the path integral of this theory can be derived from N=4 super Yang-Mills theory in four dimensions. Hence, under certain conditions, a Chern-Simons path integral in three dimensions is equivalent to an N=4 path integral in four dimensions.

研究の動機と目的

• 複素化された経路積分を通じて、量子力学とトポロジカル弦理論との間の幾何的ブリッジを確立すること。
• ファインマン経路積分における統合サイクルが、Aモデルのシグマ模型における brane に対応することを示すこと。
• この対応関係をゲージ理論に拡張し、特に3次元のチチェン・シンスミス理論を対象とすること。
• 3次元チチェン・シンスミス経路積分が、4次元N=4超ヤン・ミルズ理論の境界条件として出現することを示すこと。
• 超対称局在化と複素統合サイクルを用いて、トポロジカル不変量の場理論的実現を提供すること。

提案手法

• 実数のファインマン経路積分を複素平面に解析接続し、C^n 内の複素統合サイクルに実数の統合サイクルを置き換える。
• 統合サイクルを相対ホモロジー群の要素として特定し、収束性と非ゼロの振幅を保証する位相的制約を課す。
• モース理論とスーパーポテンシャル構造を用いて、量子力学系における有効な統合サイクルを分類・構成する。
• 境界でトポロジカル超対称性を保存するように構成された、4次元におけるねじれ型N=4超ヤン・ミルズ理論を構築する。
• 複素化されたゲージ接続を用いて、4次元N=4 SYM経路積分の境界極限として3次元チチェン・シンスミス経路積分を導出する。
• 境界付き多様体上の微分形式とホッジ理論を用いて、指数関数的減衰を示す場の解を求める方程式系を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学におけるファインマン経路積分は、どのように複素統合サイクルを用いて再解釈できるか？
• RQ2 これらの統合サイクルは、Aモデルにおける brane の観点から、幾何学的・位相的にどのような意味を持つのか？
• RQ3 3次元チチェン・シンスミス理論の経路積分は、4次元超対称ゲージ理論から導出可能か？
• RQ4 境界条件と複素化された接続は、4次元理論におけるトポロジカル不変性を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 統合サイクルと微分方程式の解との間の対応関係は、量子力学的およびゲージ理論的設定においてどのように現れるか？

主な発見

• 量子力学におけるファインマン経路積分は、複素化された位相空間におけるラグラジアン brane として統合サイクルが選ばれた場合、Aモデル経路積分と等価である。
• 複素化された経路積分における統合サイクルは、相対ホモロジーによって分類され、四次振動子モデルではサイクルの空間が次元3のベクトル空間を形成する。
• サイクルΓ上の経路積分は、3階微分方程式 (d³/da³ − a)IΓ = 0 を満たし、3つの独立したサイクルが解の基底をなす。
• 3次元チチェン・シンスミス経路積分は、4次元N=4超ヤン・ミルズ理論の境界条件として出現し、チチェン・シンスミス作用はスーパーポテンシャルとして現れる。
• 4次元理論における境界条件は、トポロジカル超対称性を保存し、複素化された接続A + iφの不変性を保証するように構成される。
• 境界上の場の運動方程式の解は、R³ 上の初期データによって一意に決定され、法線方向に指数関数的に減衰する。Hodge分解と自己双対/反自己双対射影を用いて構成される。