[論文レビュー] Integrating Lie algebroids via stacks and applications to Jacobi manifolds

Chenchang Zhu|ArXiv.org|May 9, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、従来のリー群系列が失敗する際のリー代数束のグローバル幾何的対象への統合という長年の問題を解決するため、微分可能スタックとしての群系列的構造を持つ「ワインスタイン群系列」を導入する。スタックを用いて多様体やオビルドを越えた滑らかさの構造を捉えることで、著者らは任意のリー代数束がワインスタイン群系列に統合可能であることを証明し、ジャコビ多様体に対する接触群系列の構成にこの枠組みを適用。モノドロミーと曲率解析により統合障害を解消する。

ABSTRACT

Lie algebroids can not always be integrated into Lie groupoids. We introduce a new object--``Weinstein groupoid'', which is a differentiable stack with groupoid-like axioms. With it, we have solved the integration problem of Lie algebroids. It turns out that every Weinstein groupoid has a Lie algebroid, and every Lie algebroid can be integrated into a Weinstein groupoid. Furthermore, we apply this general result to Jacobi manifolds and construct contact groupoids for Jacobi manifolds. There are further applications in prequantization and integrability of Poisson bivectors.

研究の動機と目的

• リー代数束の統合問題を解き、リー群系列が常に統合されない場合に備える。
• 微分可能スタックを用いて群系列を一般化する新しい幾何的対象「ワインスタイン群系列」を定義する。
• 統合枠組みをジャコビ多様体に適用し、接触群系列を構成し、その統合可能性を分析する。
• ジャコビの視点からポisson多様体へ理論を拡張し、統合可能性をモノドロミーと曲率に結びつける。
• 局所群系列や位相的群系列の代替として、グローバルかつ滑らかな代替案を提供する。

提案手法

• エタールな微分可能スタックとしてのワインスタイン群系列を導入し、源、標的、乗法写像が群系列公理を満たすようにする。
• 微分可能スタックを用いて、多様体やオビルドを越えた滑らかさの構造をモデル化し、グローバル統合を可能にする。
• スタック理論の枠組みにおいて、経路空間と表現可能性を用いてワインスタイン群系列を構成する。
• ジャコビ多様体への理論適用において、ポisson化を用い、ジャコビ構造を $M \times \mathbb{R}$ 上のねじれポisson構造に持ち上げる。
• リー代数束上の接続のモノドロミー群 $N_x(A)$ と曲率形式 $\Omega_s$、$\Omega_c$ を用いて統合可能性を分析する。
• モノドロミーの一様離散性を測る距離関数 $r_N(A)(x)$ を定義し、統合条件を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群系列が失敗する際、任意のリー代数束がグローバル幾何的対象に統合可能か？
• RQ2 多様体やオビルドが不十分である場合、リー代数束の統合に適した滑らかさの構造は何か？
• RQ3 スタック理論的手法を用いて、ジャコビ多様体に対する接触群系列をどのように構成できるか？
• RQ4 モノドロミー群と曲率形式は、ジャコビ構造およびポisson構造の統合可能性において果たす役割は何か？
• RQ5 ジャコビ多様体がポisson多様体として統合可能となる条件は何か、逆にポisson多様体として統合可能だがジャコビ多様体として統合不可能となる条件は何か？

主な発見

• 任意のリー代数束はワインスタイン群系列に統合可能であり、スタックを用いた統合問題の解決策を提供する。
• ジャコビ多様体に対する接触群系列は、$M_0 \times M_0 \times \mathbb{R}$ として構成され、乗法 $(x,y,a)\cdot(y,z,b) = (x,z,a+b)$ と接触1次形式 $\theta = -\exp(p_3)p_2^*\theta_0 + p_1^*\theta_0$ を持つ。
• 2次元のジャコビ多様体は、シンプレクティック面積 $A_a(r)$ が離散的周期を持つ、すなわちすべての葉 $L$ に対して $\text{Per}(\omega_L)$ が離散的である場合に限り統合可能である。
• ジャコビ構造として統合可能だがポisson構造として統合不可能であるジャコビ多様体が存在する。これは $a(r) = 1/(\sin r + 2)$ を選ぶことで示される。
• モノドロミー群 $N_x(T^*M_a \oplus_{M_a} \mathbb{R})$ が一様に離散的であるのは、$\lim_{r \to 0} (A_a'(r) + A_a(r)) \neq 0$ のときであり、ジャコビ構造の統合可能性を決定する。
• 距離関数 $r_N(A)(x)$ はモノドロミーの一様離散性を測る。$r_N(A) > 0$ かつ $\lim_{y \to x} r_N(A)(y) > 0$ であれば統合可能である。