[論文レビュー] Integration of singular foliations via paths

Joel Villatoro, Alfonso Garmendia|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、時間に依存するベクトル場とその積分曲線の組である $φ$-パスの同値類を $φ$-ホモトピーに関して同一視することで、特異的 foliation における基本群ガロア群とホロノミー群ガロア群の、新しいパスに基づく構成を提示する。主な貢献は、アンドロウリダキス＝スカンドラスのホロノミー群ガロア群を回復し、ファンクター理論的性質を確立する微分的群ガロア群の定式化であり、これはリー代数群のクレインク＝フェルナンデス統合と類似している。

ABSTRACT

We give a new construction of the holonomy and fundamental groupoids of a singular foliation. In contrast with the existing construction of Androulidakis and Skandalis, our method proceeds by taking a quotient of an infinite dimensional space of paths. This strategy is a direct extension of the classical construction for regular foliations and mirrors the integration of Lie algebroids via paths (per Crainic and Fernandes). In this way, we obtain a characterization of the holonomy and fundamental groupoids of a singular foliation that more clearly reflects the homotopic character of these invariants. As an application of our work, we prove that the constructions of the fundamental and holonomy groupoid of a foliation have functorial properties.

研究の動機と目的

• 特異的 foliation における基本群ガロア群とホロノミー群ガロア群の、パスに依存するホモトピー的動機付けの構成を開発すること。
• 古典的およびクレインク＝フェルナンデス統合法に類似した構成を提供し、不変量のホモトピー的性質を保つこと。
• foliated manifold 間の準同型に関して、基本群ガロア群の構成がファンクター的であることを確立すること。
• ホロノミー群ガロア群が、基本群ガロア群の商であることを示すことにより、古典的な関係を反映すること。
• 葉に沿った基本群ガロア群が、関連するリー代数群の源単純連結統合と一致することを証明すること。

提案手法

• 時間に依存する foliation $φ$ のセクション $X(t)$ とその積分曲線 $γ(t)$ のペア $(X(t), γ(t))$ を $φ$-パスと定義する。
• パスホモトピーを特異的 foliation の文脈に一般化するため、$φ$-ホモトピーを $φ$-パス上の同値関係として導入する。
• 空間の $φ$-パスを $φ$-ホモトピーで同一視することで、基本群ガロア群 $\Pi_1(\mathcal{F})$ を構成する。
• トランスバーサル間の微分同相写像の局所的同型（germ）を用いて、ホロノミー同値関係による商としてホロノミー群ガロア群 $\mathcal{H}(\mathcal{F})$ を定義する。
• 無限次元のパス空間と特異的商を扱うために微分的構造（diffeology）を用い、滑らかな群ガロア群構造を可能にする。
• 古典的な関係を反映するように、基本群ガロア群からホロノミー群ガロア群への自然な全射を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的 foliation の基本群ガロア群とホロノミー群ガロア群は、クレインク＝フェルナンデス統合に類似したパスホモトピー的アプローチによって構成可能であろうか？
• RQ2 $φ$-ホモトピーによる $φ$-パス上の同値関係は、特異的 foliation の葉のホロノミーとどのように関係するであろうか？
• RQ3 foliated manifold 間の準同型に関して、基本群ガロア群の構成はファンクター的であろうか？
• RQ4 提案されたパスに基づく構成は、アンドロウリダキス＝スカンドラスのホロノミー群ガロア群と微分同相である微分的群ガロア群を生じるであろうか？
• RQ5 葉に沿った基本群ガロア群は、関連するリー代数群の源単純連結統合とどの程度一致するであろうか？

主な発見

• 基本群ガロア群 $\Pi_1(\mathcal{F})$ は、$φ$-パスの空間を $φ$-ホモトピーで同一視することで構成され、微分的群ガロア群を形成する。
• ホロノミー群ガロア群 $\mathcal{H}(\mathcal{F})$ は、ホロノミー同値関係による $φ$-パスの商として構成され、アンドロウリダキス＝スカンドラスの構成と微分同相である。
• ホロノミー群ガロア群は、ホロノミーが自明なパスを同一視する関係による、基本群ガロア群の商と同型である。
• 基本群ガロア群の構成はファンクター的である：foliated manifold 間の準同型 $(F,f)$ が与えられたとき、誘導される写像 $\Pi_1(F,f)$ は単位元を保存する。
• 各葉 $L$ に対して、$\mathcal{F}$ を $L$ に制限したときの基本群ガロア群は、リー代数群 $A_L \to L$ の源単純連結統合と同型である。
• 部分写像 $f$ 沿いの foliation の引き戻しは、誘導される群ガロア群準同型の分解を可能にし、ベースと引き戻しのケースに分解することでファンクター理論的性質の証明が可能になる。