[論文レビュー] Integration on product spaces and GL_n of a valuation field over a local field

Matthew Morrow|ArXiv.org|Dec 13, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、局所体の残渣をもつ値の体上の有限次元ベクトル空間および $\mathrm{GL}_n$ 上での平行移動不変積分の理論を、$\mathbb{C}(\Gamma)$-値関数とファビニ型の条件を用いて構築する。主な貢献は、アフィン変換に関して閉じており、$\mathrm{GL}_n(F)$-作用に関して不変であり、$\mathrm{GL}_n(\overline{F})$ 上のハール測度を引き上げる空間 $\mathcal{L}(F^n, \mathrm{GL}_n)$ の構成であり、高次元局所体およびラングランズプログラムへの応用を可能にする。

ABSTRACT

We present elements of a theory of translation-invariant integration on finite dimensional vector spaces and on GL_n over a valuation field with local field as residue field. We then discuss the case of an arbitrary algebraic group. This extends the work of Fesenko.

研究の動機と目的

• 高次元局所体上のフェーセンコの積分理論を $\mathrm{GL}_n$ および一般の代数群へ拡張すること。
• アフィン変換に関して閉じており、$\mathrm{GL}_n(F)$ に関して不変である、$F^n$ 上の $\mathbb{C}(\Gamma)$-値関数の空間を構成すること。
• 変数変換およびファビニ型の条件を介して、$F^n$、$\mathrm{GL}_n(F)$、および代数的部分群上の積分の整合性を保証すること。
• 特に2次元局所体において、正の特性における非線形変数変換の課題に取り組むこと。
• 2次元局所体の表現論およびラングランズ計画における測度論的道具の基盤を築くこと。

提案手法

• 変数の順序に依存しない反復積分がwell-definedである関数を、$F^n$ 上のファビニ関数と定義し、ファビニの定理が成り立つように保証する。
• $\overline{F}^n$ 上のシュワーツ＝ブロハット関数 $g$ の $F^n$ 上への持ち上げ $g^{a,\gamma}$ を構成し、平行移動された分数イデアルの外で消えるようにする。
• $f \mapsto \phi(\tau) = f(a + \tau x) \cdot |\det \tau|^{-1}$ がファビニ関数であるような、$F^n$ 上の関数の空間 $\mathcal{L}(F^n, \mathrm{GL}_n)$ を導入し、$\mathrm{GL}_n(F)$-作用に関して不変であることを保証する。
• $\mathrm{GL}_n(F)$ 上の積分を、$\tau \mapsto \phi(\tau) |\det \tau|^{-n}$ が $\mathcal{L}(F^{n^2})$ に属することを条件として定義し、$F^{n^2}$ を $n \times n$ 行列と同一視する。
• $\mathrm{GL}_n(F)$ 上の積分が左および右平行移動不変であり、$\mathrm{GL}_n(\overline{F})$ 上のハール測度を引き上げることを確立する。
• $\mathrm{GL}_n(F)$ 上の多項式変数変換における整合性を検討し、特に正の特性における結果を [13] の $p$-進設定における野生的特異性の結果を用いて分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 値の体 $F$ が局所体の残渣をもつとき、$F^n$ および $\mathrm{GL}_n(F)$ 上での平行移動不変積分を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 反復積分が変数の順序に依存しないことを保証する条件は何か？ これをファビニ条件として形式化するにはどうすればよいか？
• RQ3 $\mathrm{GL}_n(F)$ 上の積分を、$\mathrm{GL}_n(F)$ の要素による左および右乗算に関して不変にするにはどうすればよいか？
• RQ4 多項式変数変換が代数群への積分の拡張に果たす役割は何か？ また、正の特性において生じる障害は何か？
• RQ5 非線形変数変換（例：$y \mapsto y - t^{-1}x^p$）によるファビニの不成立—例えば $\int \int f(x, y - h(x)) \, dx \, dy = 0$ だが $\int \int f(x, y - h(x)) \, dy \, dx \neq 0$ となる場合がある—が、代数群上の積分の一貫性に与える影響はどの程度か？

主な発見

• $\mathcal{L}(F^n, \mathrm{GL}_n)$ はアフィン変換 $x \mapsto a + \tau x$ に関して閉じており、$\int^{F^n} f(a + \tau x) \, dx = |\det \tau|^{-1} \int^{F^n} f(x) \, dx$ という不変性を満たす。
• 任意の $\overline{F}^n$ 上のシュワーツ＝ブロハット関数 $g$ に対して、$F^n$ 上への持ち上げ $f = g^{0,0}$ はファビニ関数であり、反復積分がwell-definedであることを保証する。
• $\mathrm{GL}_n(F)$ 上の積分は左および右両方の平行移動不変であり、$\mathrm{GL}_n(\overline{F})$ 上のハール測度を引き上げる。$\int^{\mathrm{GL}_n(F)} g^0(x) \, dx = \int_{\mathrm{GL}_n(\overline{F})} g(u) \, du$ を満たす。
• 2次元局所体で残渣特性が $p$ である場合、変数変換 $y \mapsto y - t^{-1}x^p$ によりファビニの不成立が生じる：一般に $\int \int f(x, y - h(x)) \, dx \, dy = 0$ であるが、$\int \int f(x, y - h(x)) \, dy \, dx \neq 0$ である。
• この障害は、正の特性における $\overline{F}$ の非完備性に起因し、野生的変数変換が代数群上の積分の一貫性を破壊する可能性があることを示唆している。