[論文レビュー] Interacting Hopf Algebras: the theory of linear systems

Fabio Zanasi|arXiv (Cornell University)|May 4, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 77被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、分配則に基づくホップ代数間の結合から導かれる生成子と関係を用いて、体k上の線形部分空間の完全な等式理論を提供するカテゴリカルな枠組み、相互作用的ホップ代数（IH）を導入する。主な貢献は、線形代数および信号フローダイアグラムのための健全かつ完全なストリング図式計算であり、合成的推論を可能にするとともに、実現可能性定理を提示し、実行可能形式への書き換えによって操作的意味論と意味的意味論の同等性を保証する。

ABSTRACT

As first main contribution, this thesis characterises the PROP SVk of linear subspaces over a field k - an important domain of interpretation for circuit diagrams appearing in diverse research areas. We present by generators and equations the PROP IH of string diagrams whose free model is SVk. IH stands for interacting Hopf algebras: its equations arise by distributive laws between Hopf algebras, which we obtain using Lack's technique for composing PROPs. The significance of the result is two-fold. First, it offers a canonical diagrammatic syntax for linear algebra: linear maps, kernels, subspaces, etc... are all faithfully represented in the graphical language. Second, the equations of IH describe familiar algebraic structures - Hopf algebras and Frobenius algebras - which are at the heart of graphical formalisms as seemingly diverse as quantum circuits, signal flow graphs, simple electrical circuits and Petri nets. Our characterisation enlightens the provenance of these axioms and reveals their linear algebraic nature. Our second main contribution is an application of IH to the semantics of signal processing circuits. We develop a formal theory of signal flow graphs, featuring a diagrammatic circuit syntax, a structural operational semantics and a denotational semantics. We prove completeness of the equations of IH for denotational equivalence. Also, we study full abstraction: it turns out that the purely operational picture is too concrete - two denotationally equal graphs may exhibit different operational behaviour. We classify the ways in which this can occur and show that any graph can be realised - rewritten, using the equations of IH, into an executable form where the operational behaviour and the denotation coincide. This realisability theorem suggests a reflection about the role of causality in the semantics of signal flow graphs and, more generally, of computing devices.

研究の動機と目的

• 線形写像、部分空間、および核を忠実に表現する、線形代数の標準的で図式的な記法を構築すること。
• 生成子と方程式を用いて線形部分空間のPROP（SVk）を特徴づけ、多様なネットワークベースの形式的体系の基盤的形式的体系を提供すること。
• ストリング図を用いて信号フローダイアグラムの合成的意味論を確立し、等式理論の健全性と完全性を証明すること。
• 信号フローダイアグラムにおける操作的意味論と意味的意味論の不一致を解消するために、図式を実行可能形式に書き換える実現可能性定理を導入すること。
• 広く使われる図式的形式的体系（例：量子回路、ペトリネット）の代数的起源を明らかにし、それらがすべて同じ基本的構造、すなわち相互作用的ホップ代数から生じることを示すこと。

提案手法

• ホップ代数とフロベニウス代数の間の分配則を用いて、Lackの技法によりPROPsの合成によってPROP IHを構成する。
• ストリング図をIH内の射として定義し、コピー、削除、余乗法、乗法の操作の生成子を備える。
• IHの等式理論を用いて線形部分空間を公理化し、すべての有効な線形代数的恒等式が導出可能であることを保証する。
• 信号フローダイアグラムをIHの断片として形式化し、グラフ書き換えに基づく構造的操作的意味論を定義する。
• 意味的意味論を、IHからベクトル空間と線形写像の圏へのファンクターとして定義する。
• IHの等式が意味的同等性に関して健全かつ完全であることを証明し、正規形への書き換えを用いて実現可能性定理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体k上の線形部分空間のPROPに対して、完全かつ標準的な等式理論を構築できるか？
• RQ2 ストリング図は、核、像、線形写像といった線形代数的構造を忠実に表現するためにどのように利用できるか？
• RQ3 IHの等式が、信号フローダイアグラム、量子回路、ペトリネットなど多様な図式的形式的体系の背後にある代数的構造をどの程度正確に捉えているか？
• RQ4 なぜ信号フローダイアグラムの操作的意味論と意味的意味論がときとして一致しないのか、そしてこのギャップはどのように是正できるか？
• RQ5 すべての信号フローダイアグラムは、その振る舞いと意味が一致する実行可能形式に操作的に同等に書き換え可能か？

主な発見

• 相互作用的ホップ代数によって生成されるPROP IHは、体k上の線形部分空間の圏の完全な等式公理化を提供する。
• IHの等式理論は、信号フローダイアグラムの意味的同等性に関して健全かつ完全であり、2つの図式が意味的に等しいのは、互いに等式的に導出可能であるときかつそのときに限る。
• 実現可能性定理により、任意の信号フローダイアグラムがIHの等式を用いて、操作的振る舞いと意味的意味が一致する正規形に書き換え可能であることが保証される。
• この枠組みにより、信号フローダイアグラム、量子回路、ペトリネットといった見かけ上異なる形式的体系が、すべて同じ根本的な代数的構造、すなわち相互作用的ホップ代数の例であることが明らかになった。
• 因果性が信号フローダイアグラムにおいて原始的であるのではなく、正規形の構築から導かれる性質であることが示された。
• 本研究は、線形系のカテゴリカルな基盤を提供し、圏論とPROPsに根ざした単一の等式理論によって、多様な図式的形式的体系を統一的に扱う基盤を提供した。