[論文レビュー] Interesting Paths in the Mapper

Ananth Kalyanaraman, Methun Kamruzzaman+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、マッパー上での部分集団の『興味深いさ』を定量化するフレームワークを提案する。このフレームワークは、エッジ重みが目的関数の変動を反映し、エッジのシグネチャが独立変数の共変化を捉える重み付き有向グラフにおける有向パスとして部分集団をモデル化する。主な貢献は、DAG において最もありふれたパスを求める多項式時間アルゴリズムであり、一般ケースでは NP 完全性が示されている。

ABSTRACT

The Mapper produces a compact summary of high dimensional data as a simplicial complex. We study the problem of quantifying the interestingness of subpopulations in a Mapper, which appear as long paths, flares, or loops. First, we create a weighted directed graph G using the 1-skeleton of the Mapper. We use the average values at the vertices of a target function to direct edges (from low to high). The difference between the average values at vertices (high-low) is set as the edge's weight. Covariation of the remaining h functions (independent variables) is captured by a h-bit binary signature assigned to the edge. An interesting path in G is a directed path whose edges all have the same signature. We define the interestingness score of such a path as a sum of its edge weights multiplied by a nonlinear function of their ranks in the path. Second, we study three optimization problems on this graph G. In the problem Max-IP, we seek an interesting path in G with the maximum interestingness score. We show that Max-IP is NP-complete. For the special case when G is a directed acyclic graph (DAG), we show that Max-IP can be solved in polynomial time - in O(mnd_i) where d_i is the maximum indegree of a vertex in G. In the more general problem IP, the goal is to find a collection of edge-disjoint interesting paths such that the overall sum of their interestingness scores is maximized. We also study a variant of IP termed k-IP, where the goal is to identify a collection of edge-disjoint interesting paths each with k edges, and their total interestingness score is maximized. While k-IP can be solved in polynomial time for k <= 2, we show k-IP is NP-complete for k >= 3 even when G is a DAG. We develop polynomial time heuristics for IP and k-IP on DAGs.

研究の動機と目的

• マッパー可視化で特定された部分集団、特に長パス、フラレ、ループに対して、定量的測度を開発すること。
• 二値シグネチャを用いて、エッジ重み、パスの深さ、および独立変数の一貫した共変化に基づき、『興味深いさ』の概念を形式化すること。
• マッパー・グラフにおける最も興味深いパスおよびエッジに重複のないパス集合を同定する計算上の課題に対処すること。
• 実世界の応用に実用的に導入可能な効率的アルゴリズムを提供すること、特にマッパー・グラフが有向無閉路グラフ（DAG）である状況を想定する。

提案手法

• マッパーの1次スケルトンから重み付き有向グラフ $G = (V, E)$ を構築する。頂点はクラスタを表し、エッジはクラスタの交差を表す。
• 目的関数（従属変数）の平均値が低い方から高い方に向かってエッジを有向化し、エッジ重みをこれらの平均値の差として割り当てる。
• 各エッジに、交差するクラスタ間で $h$ 個の独立変数の共変化を符号化する $h$ ビットのバイナリーシグネチャを割り当てる。
• すべてのエッジが同一のシグネチャを持つ有向パスとして『興味深いパス』を定義する。これにより、独立変数の側面で一貫した挙動が保証される。
• パスの興味深いスコアを、エッジ重みの非線形関数として定義する。パス内の深さ（パス上での順位）が深いエッジに高い重みが与えられる。
• DAG に対して動的計画法を用いて Max-IP 問題を $O(mnd_{\text{in}})$ 時間および $O(mn)$ 空間で解く。ここで $m$、$n$、$d_{\text{in}}$ はエッジ数、頂点数、最大インデグリーを表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マッパー可視化における部分集団、特に長パスやフラレの『興味深いさ』を形式的に定量化する方法は何か？
• RQ2 シグネチャ制約付きエッジを持つマッパー・グラフにおいて、最も興味深いパスを同定する計算複雑性は何か？
• RQ3 エッジに重複のない興味深いパスの集合を、合計の興味深いスコアを最大化するように効率的に計算できるか？
• RQ4 パスを正確に $k$ エッジに制限した場合、最適化問題の複雑性はどのように変化するか？
• RQ5 実世界のマッパー出力において、特にグラフが DAG である場合に、高興味部分集団を同定する実用的ヒューリスティクスを開発できるか？

主な発見

• Max-IP 問題（マッパー・グラフにおける最も興味深いパスの同定）は一般には NP 完全であるが、グラフが DAG である場合には $O(mnd_{\text{in}})$ 時間で多項式時間で解ける。
• $k$-IP 問題（合計スコアが最大となる $k$ エッジのエッジに重複のない興味深いパスの集合の同定）は、$k \geq 3$ の場合、DAG であっても NP 完全である。
• $k \leq 2$ の場合、$k$-IP 問題は多項式時間で解けることから、$k = 3$ が複雑性の閾値であることが示された。
• DAG 上の IP および $k$-IP のためのヒューリスティクスは、Max-IP アルゴリズムをサブルーチンとして用い、それぞれ $O(mnd_{\text{in}})$ および $O(mkd_{\text{in}})$ 時間で実行される。
• このフレームワークは、トウモロコシのフェノミクスデータセットにおいて生物学的に意味のある部分集団を効果的に同定した。特に、場所（KS 対 NE）にかかわらず成長率の変動に関連する2つの長パスを特定した。
• 本フレームワークを基盤に構築された HYPPO-X ツールは、これらのパスのインタラクティブな探索を可能にし、植物科学分野における仮説生成を支援する。