[論文レビュー] Interior Eigensolver for Sparse Hermitian Definite Matrices Based on Zolotarev's Functions

Yingzhou Li, Haizhao Yang|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、符号関数のZolotarevの有理近似を用いた、スパースなヘルミート確定一般固有値問題に対するZoloEigと呼ばれる新しい内部固有値解法を提案する。共形写像を用いた有理関数の合成により、従来の手法よりも極の数を減らした高次のフィルタを構築し、シフト不変性を持つGMRESと高速な直接解法を用いたスペクトル射影を実現することで、行列因子分解の回数を削減し、FEASTよりも優れた性能を達成した。

ABSTRACT

This paper proposes an efficient method for computing selected generalized eigenpairs of a sparse Hermitian definite matrix pencil $(A,B)$. Based on Zolotarev's best rational function approximations of the signum function and conformal mapping techniques, we construct the best rational function approximation of a rectangular function supported on an arbitrary interval via function compositions with partial fraction representations. This new best rational function approximation can be applied to construct spectrum filters of $(A,B)$ with a smaller number of poles than a direct construction without function compositions. Combining fast direct solvers and the shift-invariant generalized minimal residual method, a hybrid fast algorithm is proposed to apply spectral filters efficiently. Compared to the state-of-the-art algorithm FEAST, the proposed rational function approximation is more efficient when sparse matrix factorizations are required to solve multi-shift linear systems in the eigensolver, since the smaller number of matrix factorizations is needed in our method. The efficiency and stability of the proposed method are demonstrated by numerical examples from computational chemistry.

研究の動機と目的

• スパースなヘルミート確定行列ペア (A, B) の指定された区間内に存在する固有ペアを効率的に計算するための手法を開発すること。
• スペクトル射影に用いる有理関数フィルタにおける極の数を減らし、複数のシフトされた線形系を解く際の計算コストを最小化すること。
• 符号関数のZolotarevによる最適な有理近似と共形写像を活用し、近似誤差が最小限となる高次のフィルタを構築すること。
• 高速な直接解法とシフト不変性を持つGMRESを組み合わせたハイブリッドアルゴリズムを設計し、スペクトルフィルタの効率的適用を実現すること。

提案手法

• Zolotarevの符号関数近似と共形写像を関数合成することで、区間 (a, b) における矩形関数の有理近似を構築する。
• 得られた有理関数の部分分数分解を導出し、極の和として表現することで、線形系の効率的解法を可能にする。
• フィルタ R_ab(B⁻¹A) を適用して、目的の固有部分空間への射影を実現する。
• Krylov部分空間の構造を活用し、シフト不変性を持つGMRESを用いて複数のシフトされた系 (A - σ_jB)x = b を効率的に解く。
• スパースな直接解法を個々のシフトされた系に適用し、満たしを最小限に抑え、高い精度を実現する。
• フィルタ構築と反復解法を組み合わせることで、固有ペア計算における高い効率性と安定性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Zolotarevの符号関数の最良有理近似を関数合成することで、任意のスペクトル区間に対して優れた有理フィルタが得られるか？
• RQ2 得られたフィルタは、標準的な輪郭積分に基づくフィルタと比較して、極の数を減らしつつも、より高い近似精度を達成するか？
• RQ3 Krylov部分空間のシフト不変性を活用することで、固有値解法における複数のシフトされた系の解法コストを低減できるか？
• RQ4 本手法は、スパース一般固有値問題における最先端のFEASTアルゴリズムと比較して、効率性と安定性に優れているか？
• RQ5 フィルタ構築手法は他の行列タイプへ一般化可能か、あるいは関連する解法における前処理として利用可能か？

主な発見

• 提案手法ZoloEigは、行列因子分解の回数を減らしたため、順次計算においてFEASTを上回る性能を発揮した。
• 関数合成と共形写像を用いた有理フィルタは、目的の矩形関数に対して最適な一様近似誤差を示した。
• 直接的な有理近似手法と比較して、高精度なスペクトル射影に必要な極の数が顕著に減少した。
• 高速な直接解法とシフト不変性を持つGMRESを組み合わせたハイブリッドアルゴリズムにより、1つの固有ペアあたりO(F_N)のコストでスペクトルフィルタの適用が可能となり、ここでF_Nは1つのシフト系を解くコストを表す。
• 計算化学分野における数値結果から、本手法の効率性と数値的安定性が実証された。
• フィルタ構造は一般化可能であり、不定型線形系の前処理や軌道最小化法への応用にも利用可能である。