[論文レビュー] Interleaving and Gromov-Hausdorff distance

Peter Bubenik, Vin de Silva+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 25被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、共通の余域を持つ函手の拡張問題の解として、分類的枠組みを用いて距離の入れ子を定式化し、ハウスドルフ距離およびグラモフ＝ハウスドルフ距離を一般化する。主な貢献は、既知の入れ子距離を回復し、一般化されたパーシステントモジュールへと拡張する統一理論を提供することであり、特にラヴェルの距離空間による力学系および距離空間への応用を含む。

ABSTRACT

One of the central notions to emerge from the study of persistent homology is that of interleaving distance. It has found recent applications in symplectic and contact geometry, sheaf theory, computational geometry, and phylogenetics. Here we present a general study of this topic. We define interleaving of functors with common codomain as solutions to an extension problem. In order to define interleaving distance in this setting we are led to categorical generalizations of Hausdorff distance, Gromov-Hausdorff distance, and the space of metric spaces. We obtain comparisons with previous notions of interleaving via the study of future equivalences. As an application we recover a definition of shift equivalences of discrete dynamical systems.

研究の動機と目的

• 従来のパーシステントモジュールを超えた、共通の余域を持つ函手に対する一般的なカテゴリー的枠組みを構築すること。
• 関手的拡張を用いて、ハウスドルフ距離およびグラモフ＝ハウスドルフ距離の概念を統一的かつ一般化すること。
• シンプレクティック幾何学、層理論、力学系など、多様な数学的分野に適用可能な、入れ子のカテゴリー的基盤を確立すること。
• 提案された入れ子枠組みの特別な場合として、離散力学系におけるシフト同値性を回復すること。

提案手法

• 共通の余域を持つ函手の入れ子を、カテゴリー的拡張問題の解として定義する。
• 古典的入れ子距離を拡張するカテゴリー的構成を用いて、一般化された入れ子距離を導入する。
• ラヴェルの距離空間を用いてメトリック構造をモデル化し、随伴函手を介して重み付き圏と関連付ける。
• 重み付き集合の圏 $\mathbf{wSet}$ とラヴェルの距離空間の圏 $\mathbf{Lawv}$ の間でモノイダル随伴を確立する。
• ハウスドルフ距離が集合のオフセット族間の入れ子距離として解釈されることを示し、それらの関係を明示する。
• メトリック空間およびその函手の文脈において、グラモフ＝ハウスドルフ型距離を含む理論を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入れ子距離は、パーシステントモジュールを超えて、共通の余域を持つ函手へどのように一般化できるか？
• RQ2 入れ子の概念を裏付けるカテゴリー的構造は何か？ そして、それが拡張問題の解としてどのように形式化できるか？
• RQ3 ハウスドルフ距離およびグラモフ＝ハウスドルフ距離は、統一された入れ子距離構成の特別な場合として回復可能か？
• RQ4 提案された枠組みは、離散力学系における既知の概念（シフト同値性）をどのように回復するか？
• RQ5 ラヴェルの距離空間は、メトリック構造とパーシステント理論的構造を統一するために果たす役割は何か？

主な発見

• オフセット族 $F_A$ および $F_B$（$F_A(a) = A^a$ および $F_B(a) = B^a$）間の入れ子距離は、古典的ハウスドルフ距離 $d_H(A,B)$ に等しく、直接的なカテゴリー的同値性を確立する。
• 入れ子距離の構成は、偏順序集合 $([0,\infty), \leq)$ をインデックスとする函手へと一般化され、$\Omega_r(a) = a + r$ で与えられる平行移動により、超線形族を形成する。
• 重み付き集合の圏 $\mathbf{wSet}$ とラヴェルの距離空間の圏 $\mathbf{Lawv}$ の間でモノイダル随伴が確立され、右随伴 $\kappa$ は $a \in [0,\infty]$ を重み $a$ の一点空間に送り、左随伴 $i_*$ は経路上の重みの下界を用いて距離を割り当てる。
• 重み付き圏 $\mathbf{wCat}$ 上の入れ子距離は、$d(X,Y) = \inf_{\gamma \in \mathbf{C}(X,Y)} w_C(\gamma)$ として定義されるラヴェルの距離を対象に誘導し、経路長メトリックを一般化する。
• 提案されたカテゴリー的構成の下で、離散力学系におけるシフト同値性が、入れ子の特別な場合として回復される。
• 層、コ層、フロイド理論的構成を含む一般化されたパーシステントモジュールへと理論を拡張でき、それらの入れ子距離が提案された一般枠組みの具体例として解釈可能である。