[論文レビュー] Internal and local homotopy theory

Zhen Lin Low|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Grothendieckサイト上の単体的層のホモトピー理論における弱同値が、プレシェーブトポスによって分類されるプレシェーブ型の理論を形成することを確立する。正則圏における内部ホモトピー理論と内部版KanのEx∞関手を用いて、局所的弱ホモトピー同値がJ-局所的弱同値と一致することを証明し、構成的設定における局所ホモトピー理論の新しい論理的・圏論的基盤を提供する。

ABSTRACT

There is a well-established homotopy theory of simplicial objects in a Grothendieck topos, and folklore says that the weak equivalences are axiomatisable in the geometric fragment of $L_{ω_1, ω}$. We show that it is in fact a theory of presheaf type, i.e. classified by a presheaf topos. As a corollary, we obtain a new proof of the fact that the local Kan fibrations of simplicial presheaves that are local weak homotopy equivalences are precisely the morphisms with the expected local lifting property.

研究の動機と目的

• 単体的層のホモトピー理論における弱同値が、Lω1,ωの幾何的断片において公理化可能であり、プレシェーブ型の理論を形成することを確立すること。
• σ-前トポスにおける単体的対象の内部版KanのEx∞関手を構築することで、Jardineの局所ホモトピー理論を一般化すること。
• 内部ホモトピー理論における内部の上げ性質が、局所的弱ホモトピー同値の局所的上げ性質と正確に一致することを示し、それによって局所的弱ホモトピー同値のための新しい証明を与えること。
• 圏論的論理およびトポス論的手法を用いて、JardineおよびDugger–Isaksenの古典的結果を再導出し、再解釈すること。

提案手法

• σ-前トポス内でKanのEx∞関手の内部版を構築し、単体的対象の内部弱同値を定義する。
• 正則圏における弱下り引き戻しの概念を用いて、内部ケン被覆と上げ性質を定義する。
• 完全性定理を適用して、単体的集合における古典的ホモトピー論的結果をトポス内の内部設定に移行する。
• 単体的プレシェーブにおけるJ-局所的弱ホモトピー同値の類が、プレシェーブトポスによって分類されることを示す。その根拠として、このような同値が引き戻しおよび余極限に関して保存されることを用いる。
• プレシェーブと層の間の随伴関手を活用し、層トポスにおける内部弱同値を単体的プレシェーブにおける局所的同値と関連付ける。
• 擬下り引き戻し定理を用いて、J-局所的弱ホモトピー同値の全部分圏が可算生成的であり、かつフィルタード余極限に関して閉じていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的層のホモトピー理論における弱同値は、圏論的論理におけるプレシェーブ型の理論として公理化可能か？
• RQ2 σ-前トポス上の単体的対象におけるKanのEx∞関手の内部版は、弱同値をどのように特徴付けるか？
• RQ3 単体的プレシェーブにおけるJ-局所的弱ホモトピー同値は、Dugger–Isaksenらの文献における標準的な局所的弱同値の概念と一致するか？
• RQ4 局所的弱ホモトピー同値のための局所的上げ性質は、層の内部ホモトピー理論における内部の上げ性質と同値か？
• RQ5 単体的プレシェーブにおけるJ-局所的弱ホモトピー同値の全部分圏の圏論的構造（例：可算生成性、余極限に関する閉包性）は何か？

主な発見

• 単体的層の弱同値の類はプレシェーブトポスによって分類され、それがプレシェーブ型の理論であることが確認された。
• 単体的プレシェーブの射がJ-局所的弱ホモトピー同値であるための必要十分条件は、DuggerとIsaksenの意味での局所的同値であることである。
• 射がJ-局所的自明ケン被覆であるための必要十分条件は、それが同時にJ-局所的ケン被覆であり、J-局所的弱ホモトピー同値であることである。
• J-局所的弱ホモトピー同値の全部分圏は、フィルタード余極限に関して閉じており、かつ可算生成的である。
• 層トポスにおける内部弱ホモトピー同値の内部上げ性質は、単体的プレシェーブにおける局所的上げ性質と正確に一致する。
• 自然な射 X →j∗j∗X はJ-局所的弱ホモトピー同値である。これはJardineの結果を一般化するものである。