[論文レビュー] Internal Parametricity for Cubical Type Theory

Evan Cavallo, Robert Harper|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 31被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、立方体型理論の高次元的経路とパラメトリック型理論の関係的ブリッジを統合する統一型理論を導入し、内部パラメトリシティと同一視を可能にする。相対性——同一視の関係的同等物——を確立し、高次帰納型（スモーズ積を含む）における多相関数の自由定理の証明に応用する。これは一貫性のあるホモトピー的理論枠組み内での構成的推論に基づく。

ABSTRACT

We define a computational type theory combining the contentful equality structure of cartesian cubical type theory with internal parametricity primitives. The combined theory supports both univalence and its relational equivalent, which we call relativity. We demonstrate the use of the theory by analyzing polymorphic functions between higher inductive types, and we give an account of the identity extension lemma for internal parametricity.

研究の動機と目的

• 次元変数を用いて、立方体型理論の高次元的構造とパラメトリック型理論の関係的推論を統合する。
• 構成的型理論内に、同一視の関係的同等物である相対性——関係的同一視——を内部化する。
• 高次帰納型（例：スモーズ積）における多相関数について、内部パラメトリシティを用いた形式的推論を可能にする。
• 特定の形の排中律の否定と整合する、統合型理論の整合性を示す。
• ブリッジ離散型を導入し、boolなどのデータ型のブリッジ型を相対性によって特徴付けることで、パラメトリック型理論の手法を拡張する。

提案手法

• 構造的（経路用）および準構造的（ブリッジ用）の2種類の次元変数を持つ型理論を導入し、それらの役割を明確に保つ。
• 立方体型理論のカン条件を修正し、ブリッジ型がカンであることを保証することで、パラメトリック設定内でも経路に類似した推論を可能にする。
• ユニバース内でのブリッジ型と関係の間の同値性として相対性を定義し、同一視によってI-集合の必要性を排除する。
• 関数の同一性とη則を用いて、関係的設定内での関数間の経路等価性を構成する。
• 作業台座の補題と再帰的同型の議論を用いて、主要な多相型が集合であることを示し、証明の無関心性を可能にする。
• 経路連結性を高次帰納型のコンストラクタにモデル化するため、∧-graphxやgluel/gluerといった明示的項を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型理論が経路型とブリッジ型を統合することで、同一視とパラメトリシティの両方を内部化できるか？
• RQ2 立方体的設定内に、高次帰納型における自由定理を支援する相対性——関係的同一視——をどのように形式化できるか？
• RQ3 ブリッジ離散型は、boolのような帰納型の関係的解釈を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 スモーズ積のモノイダル構造を、内部パラメトリシティを用いて構成的に証明できるか？
• RQ5 統合理論は、特定の形の排中律の否定と整合的か？

主な発見

• 型 P := (X∗, Y∗:U∗) →X →Y →X∗∧Y∗ は、bool への再帰によって証明され、自由定理における証明の無関心性を保証する集合である。
• 作業台座の補題により、任意の多相関数 f : P は、bool 上での振る舞いによって経路等価性の意味で一意に定まる。これにより、このような関数の分類が可能になる。
• 主要定理は、任意のベースポイントを保存する関数 f∗: (X∗, Y∗:U∗) →X∗∧∗Y∗→∗X∗∧∗Y∗ が、コンストラクタおよびベースポイントへの作用によって経路等価性の意味で一意に定まることを示す。
• f∗ が gluel および gluer 項に対して示す振る舞いは、ベースポイント保存性と P 内の経路構造によって、経路の意味で一意に定まる。
• この理論は、スモーズ積のような HIT の整合性を構成的に証明でき、通常の証明で生じる複雑さを回避する。
• 統合理論は、PER意味論によって示されるように、（一部のバージョンの）排中律の否定と整合的である。