[論文レビュー] Internal perturbations of homoclinic classes:non-domination, cycles, and self-replication

Bonatti, Ch., Sylvain Crovisier+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非優位な力学的構造を示すホモクライン型クラスにおいて、$C^1$ 級の摂動がホモクライン構造を保存する条件下で、野生的（ワイルド）な力学的挙動を生成するメカニズムを確立する。具体的には、自己複製を可能にする『ウイルス的ホモクライン型クラス』の概念を導入し、そのような力学的構造が非可算個の非周期的鎖状再帰的クラスを生じることを示している。主な貢献は、内部摂動によってホモクライン構造を保存する $C^1$ 微分同相写像におけるワイルドな力学的挙動を生成するメカニズムの確立である。

ABSTRACT

Conditions are provided under which lack of domination of a homoclinic class yields robust heterodimensional cycles. Moreover, so-called viral homoclinic classes are studied. Viral classes have the property of generating copies of themselves producing wild dynamics (systems with infinitely many homoclinic classes with some persistence). Such wild dynamics also exhibits uncountably many aperiodic chain recurrence classes. A scenario (related with non-dominated dynamics) is presented where viral homoclinic classes occur. A key ingredient are adapted perturbations of a diffeomorphism along a periodic orbit. Such perturbations preserve certain homoclinic relations and prescribed dynamical properties of a homoclinic class.

研究の動機と目的

• ホモクライン型クラスにおける非優位な力学的構造から、$C^1$-ロバストな異次元サイクルがどのように生じるかを理解すること。
• 自己複製を可能にする『ウイルス的ホモクライン型クラス』——摂動によって自身の複製を生成するクラス——を形式化し、その性質を分析すること。
• ホモクライン関係および力学的性質を保存する $C^1$-摂動が成立する条件を確立し、ワイルドな力学的挙動の構成を可能にすること。
• このような力学的挙動が、非可算個の非周期的鎖状再帰的クラスを生じることを示すこと。なお、周期点は可算個しか存在しない場合でも成立する。
• 無限個のホモクライン型クラスと持続的な非双曲的挙動を示す微分同相写像の開集合を構成するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 周期軌道に沿った適応的摂動を用いて、ホモクライン関係を保存するとともに、ロバストな力学的性質を誘導すること。
• 繰り返しの構成過程で、異なる鎖状再帰的クラスを分離・分離するために、フィルトレーティング近傍を応用すること。
• 帰納的摂動ステップを用いて、ネストされた、互いに交わらないフィルトレーティング開集合の族を構成し、非可算個の再帰的クラスを生成すること。
• 異次元サイクルの $C^1$-ロバスト性および非優位性を活用し、複雑な力学的挙動の持続性を保証すること。
• $\mathrm{Diff}^1(M)$ における残渣的集合を活用し、無限個のホモクライン型クラスを有する系の一般性を保証すること。
• 文献[11, 21]の技術を応用し、ホモクライン型クラス上でヤコビアンが1未満となる例を構成することで、普遍的でない力学的挙動を確認し、ウイルス的挙動を裏付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモクライン型クラスにおける優位性の欠如が、$C^1$-ロバストな異次元サイクルの存在を示すための条件は何か？
• RQ2 周期軌道に沿った適応的摂動は、ホモクライン構造を保存しつつ、新たな力学的コピーを生成する方法は何か？
• RQ3 ホモクライン型クラスがどのように『ウイルス的』に自己複製を可能にし、無限個の持続的ホモクライン型クラスを生じるのか、そのメカニズムは何か？
• RQ4 このようなウイルス的力学的挙動は、周期点が可算個しか存在しない場合でも、非可算個の非周期的鎖状再帰的クラスを生じるのか？
• RQ5 非優位な分割が、高次元微分同相写像における $C^1$-ロバストな異次元サイクルを可能にする役割は何か？

主な発見

• 適切な条件下で、ホモクライン型クラスにおける非優位性は、$C^1$-ロバストな異次元サイクルの存在を示唆する。
• 周期軌道に沿った適応的摂動はホモクライン関係を保存し、摂動された周期点を含む新たなトランスティーブな双曲的集合を生成可能である。
• この構成により、無限個の互いに素なホモクライン型クラスを有する残渣的部分集合が得られ、それぞれがロバストな力学的性質を満たす。
• 各々の微分同相写像は、ネストされたフィルトレーティング近傍の無限二進数列から生じる非可算個の非周期的鎖状再帰的クラスを有する。
• ウイルス的ホモクライン型クラスを有する微分同相写像の開集合は、これらのクラス上でヤコビアンが1未満となるように選べ、普遍的でない力学的挙動が裏付けられる。
• 本稿は、$C^2$-ロバストな接点を越えて、内部摂動による $C^1$ 微分同相写像におけるワイルドな力学的挙動を生成するメカニズムを提供する。